Контрольная работа: Вычисление наибольшей прибыли предприятия

Контрольная работа: Вычисление наибольшей прибыли предприятия

Содержание

Задача 1. 2

Задача 2. 4

Задача 3. 6

Задача 1

Пусть х (млн. шт.) объем производства, С(х)=2х3-7х и D(x)=2х2+9х+15 соответственно функция издержек и доход некоторой фирмы. При каком значении х фирма получит наибольшую прибыль π(х)? какова эта прибыль?

Решение

Прибыль фирмы является разницей между доходом и издержками фирмы:

,

,

.

Найдем наибольшее значение прибыли путем нахождения максимума функции .

 - не удовлетворяет условию задачи,

.

График функции прибыли представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 - График функции прибыли

Как видно из рисунка 1, функция прибыли  в точке х=2 достигает максимального значения. Следовательно, фирма получает наибольшую прибыль при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составляет:

 млн. у.е.

Ответ: наибольшую прибыль фирма получит при объеме производства 2 млн. шт. и эта прибыль составит 39 млн. у.е.

Задача 2

Заданы: функция прибыли , где х1 и х2 объемы некоторых ресурсов; цены р1=1 и р2=1 за единицу каждого ресурса соответственно (в некоторых у.е.); бюджетное ограничение I=150 на затраты по приобретению указанных ресурсов (в тех же у.е.). При каких значениях объемов используемых ресурсов фирма–производитель получит наибольшую прибыль?

Решение

Задача сводится к поиску максимума функции  при существовании ограничения :

при .

,

.

Найдем максимум функции графически.

Рисунок 2 – График функции

Как видно, функция достигает максимального значения при х1=90.

,

.

Ответ: фирма–производитель получит наибольшую прибыль при объемах ресурсов х1=90 и х2=60.

Задача 3

Задана парная выборка из 10 пар значений случайных велbчин X и Y (таблица 1).

Таблица 1 – Исходные данные

1)         Изобразите корреляционное поле случайных величин X и Y.

2)         Вычислите основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации.

3)         Найдите их совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции.

4)         С помощью найденных характеристик составьте уравнение линейной регрессии Y на X.

5)         Составьте уравнение линейной регрессии X на Y.

6)         Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии.

7)         Вычислите стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0 и b1.

8)         Проверьте гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0 и b1.

9)         Вычислите с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0 и b1 регрессии Y на X.

10)      Найдите коэффициент детерминации R2 и поясните смысл полученного результата.

Решение.

1)         Корреляционное поле случайных величин X и Y

2)         Основные числовые характеристики случайных величин X и Y: их математические ожидания и дисперсии, средние квадратические отклонения и размах вариации

Таблица 2 Вспомогательные расчеты

Математическое ожидание:

,

.

Дисперсия:

,

.

Среднеквадратическое отклонение:

,

.

Размах вариации:

,

.

3)         Совместные числовые характеристики: ковариацию, коэффициент корреляции

Ковариация:

.

Коэффициент корреляции:

.

4)         Уравнение линейной регрессии Y на X

,

,

.

5)         Уравнение линейной регрессии X на Y

,

,

.

6)         Нанесите найденные уравнения на корреляционное поле; найдите точку пересечения полученных линий регрессии

Точка пересечения (18,4;46,9).

7)         Стандартные ошибки коэффициентов регрессии b0 и b1

Таблица 3 Вспомогательные расчеты

Для линии регрессии Y на X:

,

,

.

Для линии регрессии X на Y:

,

,

.

8)         Проверка гипотезы о статистической значимости коэффициентов регрессии b0 и b1

Для α=0,05 и k=n-1-1=8 значение критерия Стьюдента t=2,31

Для линии регрессии Y на X:

, коэффициент значим,

, коэффициент значим.

Для линии регрессии X на Y:

, коэффициент значим,

, коэффициент значим.

9)         Вычисляем с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов b0 и b1 регрессии Y на X

Доверительный интервал для b0:

<a0<,

<a0<,

54,97<a0<83,03.

Доверительный интервал для b1:

<a1<,

<a1<,

-1,23<a1<-1,17.

10)      Коэффициент детерминации R2 :

.

Коэффициент детерминации R2=0,6724 показывает, что вариация параметра Y на 67,24% объясняется фактором Х. Доля влияния неучтенных факторов – 32,76%.