ðåôåðàò
Ãëàâíàÿ

Ðåôåðàòû ïî ñåêñîëîãèè

Ðåôåðàòû ïî èíôîðìàòèêå ïðîãðàììèðîâàíèþ

Ðåôåðàòû ïî áèîëîãèè

Ðåôåðàòû ïî ýêîíîìèêå

Ðåôåðàòû ïî ìîñêâîâåäåíèþ

Ðåôåðàòû ïî ýêîëîãèè

Êðàòêîå ñîäåðæàíèå ïðîèçâåäåíèé

Ðåôåðàòû ïî ôèçêóëüòóðå è ñïîðòó

Òîïèêè ïî àíãëèéñêîìó ÿçûêó

Ðåôåðàòû ïî ìàòåìàòèêå

Ðåôåðàòû ïî ìóçûêå

Îñòàëüíûå ðåôåðàòû

Ðåôåðàòû ïî àâèàöèè è êîñìîíàâòèêå

Ðåôåðàòû ïî àäìèíèñòðàòèâíîìó ïðàâó

Ðåôåðàòû ïî áåçîïàñíîñòè æèçíåäåÿòåëüíîñòè

Ðåôåðàòû ïî àðáèòðàæíîìó ïðîöåññó

Ðåôåðàòû ïî àðõèòåêòóðå

Ðåôåðàòû ïî àñòðîíîìèè

Ðåôåðàòû ïî áàíêîâñêîìó äåëó

Ðåôåðàòû ïî áèðæåâîìó äåëó

Ðåôåðàòû ïî áîòàíèêå è ñåëüñêîìó õîçÿéñòâó

Ðåôåðàòû ïî áóõãàëòåðñêîìó ó÷åòó è àóäèòó

Ðåôåðàòû ïî âàëþòíûì îòíîøåíèÿì

Ðåôåðàòû ïî âåòåðèíàðèè

Ðåôåðàòû äëÿ âîåííîé êàôåäðû

Ðåôåðàòû ïî ãåîãðàôèè

Ðåôåðàòû ïî ãåîäåçèè

Ðåôåðàòû ïî ãåîëîãèè

Ðåôåðàòû ïî ãåîïîëèòèêå

Ðåôåðàòû ïî ãîñóäàðñòâó è ïðàâó

Ðåôåðàòû ïî ãðàæäàíñêîìó ïðàâó è ïðîöåññó

Ðåôåðàòû ïî äåëîïðîèçâîäñòâó

Ðåôåðàòû ïî êðåäèòîâàíèþ

Ðåôåðàòû ïî åñòåñòâîçíàíèþ

Ðåôåðàòû ïî èñòîðèè òåõíèêè

Ðåôåðàòû ïî æóðíàëèñòèêå

Ðåôåðàòû ïî çîîëîãèè

Ðåôåðàòû ïî èíâåñòèöèÿì

Ðåôåðàòû ïî èíôîðìàòèêå

Èñòîðè÷åñêèå ëè÷íîñòè

Ðåôåðàòû ïî êèáåðíåòèêå

Ðåôåðàòû ïî êîììóíèêàöèè è ñâÿçè

Êóðñîâàÿ ðàáîòà: ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

Êóðñîâàÿ ðàáîòà: ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

Êóðñîâàÿ ðàáîòà

ïî èíôîðìàòèêå íà òåìó:

«×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ

ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé»

Âûïîëíèë:

 ñòóäåíò 06–ÈÑÒ, Ôàäååâà Ò.Â.

Ïðîâåðèë:

Ëîâûãèíà Ì.Á.

ã. Ïàâëîâî

     2008


Ñîäåðæàíèå.

     I    Òåîðåòè÷åñêàÿ ÷àñòü

1.   Ââåäåíèå....................................................................3

2.   ×èñëåííûå ìåòîäû ..................................................6

1)   Ìàòðè÷íûé ìåòîä........................................6

2)   Ìåòîä Êðàìåðà.............................................9

3)   Ìåòîä Ãàóññà ...............................12

4)   Èòåðàöèè äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì….…..…..17

a)   Èòåðàöèÿ ßêîáè..………………...…..18

b)   Èòåðàöèÿ Ãàóññà Çåéäåëÿ..……...…20

   II    Ïðàêòè÷åñêàÿ ÷àñòü

1)  Ìàòðè÷íûé ìåòîä........................................22

2)  Ìåòîä Êðàìåðà.............................................24

3)  Ìåòîä Ãàóññà……........................................26

4) Ëèñòèíã ïðîãðàììû.……………………….28

  III    Ïîëüçà ââåäåíèÿ ðàñ÷¸òîâ.……………………………….65

  IV    Ëèòåðàòóðà……….................................................................66


                                     I.         Òåîðåòè÷åñêàÿ ÷àñòü.

Ââåäåíèå.

Ëèíåéíàÿ àëãåáðà – ÷àñòü àëãåáðû, èçó÷àþùàÿ âåêòîðíûå (ëèíåéíûå) ïðîñòðàíñòâà è èõ ïîäïðîñòðàíñòâà, ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ (îïåðàòîðû), ëèíåéíûå, áèëèíåéíûå, è êâàäðàòè÷íûå ôóíêöèè íà âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ.

Ëèíåéíàÿ àëãåáðà, ÷èñëåííûå ìåòîäû – ðàçäåë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè, ïîñâÿùåííûé ìàòåìàòè÷åñêîìó îïèñàíèþ è èññëåäîâàíèþ ïðîöåññîâ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ ëèíåéíîé àëãåáðû.

Ñðåäè çàäà÷ ëèíåéíîé àëãåáðû íàèáîëüøåå çíà÷åíèå èìåþò äâå: ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû. Äðóãèå ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ çàäà÷è: îáðàùåíèå ìàòðèöû, âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëÿ è ò.ä.

Ëþáîé ÷èñëåííûé ìåòîä ëèíåéíîé àëãåáðû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåêîòîðóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âûïîëíåíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä ýëåìåíòàìè âõîäíûõ äàííûõ. Åñëè ïðè ëþáûõ âõîäíûõ äàííûõ ÷èñëåííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò íàéòè ðåøåíèå çàäà÷è çà êîíå÷íîå ÷èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, òî òàêîé ìåòîä íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì.  ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå ÷èñëåííûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ èòåðàöèîííûì. Ïðÿìûå ìåòîäû - ýòî  òàêèå, êàê ìåòîä Ãàóññà, ìåòîä îêàéìëåíèÿ, ìåòîä ïîïîëíåíèÿ, ìåòîä ñîïðÿæ¸ííûõ ãðàäèåíòîâ è äð. Èòåðàöèîííûå ìåòîäû – ýòî ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè, ìåòîä âðàùåíèé, ìåòîä ïåðåìåííûõ íàïðàâëåíèé, ìåòîä ðåëàêñàöèè è äð. Çäåñü áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ ìàòðè÷íûé ìåòîä, ìåòîä Ãàóññà è ìåòîä Êðàìåðà.

 äàííîé ðàáîòå áóäóò ðàññìîòðåíû ÷èñëåííûå ìåòîäû â ýëåêòðîííûõ òàáëèöàõ Excel è ïðîãðàììå MathCAD, Microsoft Visual Basic.

MathCAD.

Ïðîãðàììà MathCAD ïî ñâîåìó íàçíà÷åíèþ ïîçâîëÿåò ìîäåëèðîâàòü â ýëåêòðîííîì äîêóìåíòå íàó÷íî–òåõíè÷åñêèå, à òàêæå ýêîíîìè÷åñêèå ðàñ÷¸òû â ôîðìå, äîñòàòî÷íî áëèçêîé ê îáùåïðèíÿòûì ðó÷íûì ðàñ÷¸òàì. Ýòî óïðîùàåò ñîñòàâëåíèå ïðîãðàììû ðàñ÷¸òà, àâòîìàòèçèðóåò ïåðåðàñ÷¸ò è ïîñòðîåíèå ãðàôè÷åñêèõ èëëþñòðàöèé ïîäîáíî ýëåêòðîííûì òàáëèöàì Excel, äîêóìåíòèðîâàíèå ðåçóëüòàòîâ êàê â òåêñòîâîì ðåäàêòîðå Word.

Ïðîãðàììà Mathcad èçâåñòíà çà ë¸ãêîñòü, ñ êîòîðîé ìàòåìàòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, òåêñò, è ãðàôèêà ìîãóò áûòü îáúåäèíåíû â îäíîì äîêóìåíòå. Êðîìå òîãî, âû÷èñëèòåëüíûå ñïîñîáíîñòè Mathcad ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ îò ñëîæåíèÿ ñòîëáöà ÷èñåë ê ðåøåíèþ èíòåãðàëîâ è ïðîèçâîäíûõ, ðåøåíèå ñèñòåì óðàâíåíèé è áîëüøå.

Äîñòîèíñòâîì MathCAD ÿâëÿåòñÿ òàêæå íàëè÷èå â åãî ñîñòàâå ýëåêòðîííûõ êíèã. Îäíà èç íèõ – ó÷åáíèê ïî ñàìîé ïðîãðàììå, äðóãèå – ñïðàâî÷íèê ïî ðàçëè÷íûì ðàçäåëàì ìàòåìàòèêè, ôèçèêè, ðàäèîýëåêòðîíèêè è äð.  

Microsoft Office Excel.

Åñëè æå ãîâîðèòü î ïðîãðàììå Excel, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç íàèáîëåå èçâåñòíûõ â îáðàáîòêå ýëåêòðîííûõ òàáëèö, òî áåç ïðåóâåëè÷åíèÿ ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî åå âîçìîæíîñòè ïðàêòè÷åñêè íåèñ÷åðïàåìû.

Îáðàáîòêà  òåêñòà, óïðàâëåíèå áàçàìè äàííûõ -  ïðîãðàììà íàñòîëüêî ìîùíà, ÷òî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïðåâîñõîäèò ñïåöèàëèçèðîâàííûå ïðîãðàììû - ðåäàêòîðû èëè ïðîãðàììû áàç äàííûõ. Òàêîå ìíîãîîáðàçèå ôóíêöèé ìîæåò  ïîíà÷àëó  çàïóòàòü, íåæåëè çàñòàâèòü  ïðèìåíÿòü   èõ  íà  ïðàêòèêå. Íî ïî ìåðå ïðèîáðåòåíèÿ îïûòà íà÷èíàåøü ïî äîñòîèíñòâó öåíèòü òî, ÷òî ãðàíèö  âîçìîæíîñòåé Excel òÿæåëî äîñòè÷ü.

Çà âñþ èñòîðèþ òàáëè÷íûõ  ðàñ÷åòîâ  ñ  ïðèìåíåíèåì  ïåðñîíàëüíûõ êîìïüþòåðîâ òðåáîâàíèÿ  ïîëüçîâàòåëåé ê ïîäîáíûì  ïðîãðàììàì  ñóùåñòâåííî èçìåíèëèñü.  íà÷àëå îñíîâíîé àêöåíò â òàêîé ïðîãðàììå, êàê, íàïðèìåð, Visi Calc, ñòàâèëñÿ íà ñ÷åòíûå  ôóíêöèè.  Ñåãîäíÿ,  ïîëîæåíèå äðóãîå. Íàðÿäó ñ èíæåíåðíûìè è áóõãàëòåðñêèìè ðàñ÷åòàìè  îðãàíèçàöèÿ  è  ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå  äàííûõ  ïðèîáðåòàþò  âñå  âîçðàñòàþùåå  çíà÷åíèå. Êðîìå òîãî, ìíîãîîáðàçèå ôóíêöèé, ïðåäëàãàåìîå òàêîé ðàñ÷åòíîé è ãðàôè÷åñêîé ïðîãðàììîé, íå äîëæíî îñëîæíÿòü ðàáîòó ïîëüçîâàòåëÿ. Ïðîãðàììû äëÿ Windows ñîçäàþò äëÿ ýòîãî èäåàëüíûå ïðåäïîñûëêè.

 ïîñëåäíåå âðåìÿ  ìíîãèå êàê ðàç ïåðåøëè íà èñïîëüçîâàíèå Windows â êà÷åñòâå ñâîåé ïîëüçîâàòåëüñêîé ñðåäû. Êàê ñëåäñòâèå, ìíîãèå ôèðìû, ñîçäàþùèå ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå, íà÷àëè ïðåäëàãàòü áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïðîãðàìì äëÿ Windows.

Visual Basic.

Microsoft Visual Basic – ýòî ìîùíàÿ ñèñòåìà ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ïîçâîëÿþùàÿ áûñòðî è ýôôåêòèâíî ñîçäàâàòü ïðèëîæåíèÿ äëÿ Microsoft Windows.  îòëè÷èå îò Excel è MathCAD ýòî íàèáîëåå óäîáíàÿ ïðîãðàììà äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ïðîñòîé ïîëüçîâàòåëüñêèé èíòåðôåéñ, ïîçâîëÿþùèé ëåãêî ïåðåêëþ÷àòüñÿ ñ ïðîåêòà ôîðìû íà ñàì êîä ïðîãðàììû.

 

Óäîáíîå îêíî äëÿ êîäà ñàìîé ïðîãðàììû:

×èñëåííûå ìåòîäû.

Ðàçðåøèìîñòü ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

Êîãäà ìû ãîâîðèì î ãëàâíîé ìàòðèöå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, òî âñåãäà èìååì â âèäó êâàäðàòíóþ ìàòðèöó n×n, ò. å. ìàòðèöó ñ îäèíàêîâûì êîëè÷åñòâîì ñòðîê è ñòîëáöîâ. Ýòî âàæíî.

Åñëè, íàïðèìåð, êîëè÷åñòâî ñòðîê (êîëè÷åñòâî óðàâíåíèé â ñèñòåìå) áóäåò ìåíüøå, ÷åì êîëè÷åñòâî ñòîëáöîâ (ôàêòè÷åñêè, êîëè÷åñòâà íåèçâåñòíûõ), òî ñèñòåìà áóäåò íåîïðåäåëåííîé, ò. å. ìû íå ñìîæåì îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü âñå íåèçâåñòíûå (ðåøèòü ñèñòåìó).

Íî ýòî íå åäèíñòâåííîå îãðàíè÷åíèå. Èç âåêòîðíîé àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé èìååò ðåøåíèå (îäíîçíà÷íîå) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå ãëàâíûé îïðåäåëèòåëü íå ðàâåí íóëþ: Δ ≠ 0.

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû ðàâåí íóëþ. Çäåñü âîçìîæíû äâà âàðèàíòà:

1.      Δ = 0 è êàæäûé èç äîïîëíèòåëüíûõ îïðåäåëèòåëåé Δxi = 0. Ýòî èìååò ìåñòî òîëüêî òîãäà, êîãäà êîýôôèöèåíòû ïðè íåèçâåñòíûõ xi ïðîïîðöèîíàëüíû, ò. å. êàæäîå óðàâíåíèå ñèñòåìû ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ óìíîæåíèåì îáåèõ åãî ÷àñòåé íà ÷èñëî k. Ïðè ýòîì ñèñòåìà èìååò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé.

2.      Δ = 0 è õîòÿ áû îäèí äîïîëíèòåëüíûé îïðåäåëèòåëü Δxi ≠ 0. Ýòî èìååò ìåñòî òîëüêî òîãäà, êîãäà êîýôôèöèåíòû ïðè âñåõ íåèçâåñòíûõ xi, ïðîïîðöèîíàëüíû. Ïðè ýòîì ïîëó÷àåòñÿ ñèñòåìà èç ïðîòèâîðå÷èâûõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ íå èìååò ðåøåíèé.

Ìàòðè÷íûé ìåòîä ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

Ïóñòü äàíà ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:

Ðàññìîòðèì ìàòðèöó, ñîñòàâëåííóþ èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè íåèçâåñòíûõ:

Ñâîáîäíûå ÷ëåíû è íåèçâåñòíûå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ìàòðèöû ñòîëáöîâ:

Òîãäà, èñïîëüçóÿ ïðàâèëî óìíîæåíèå ìàòðèö, ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæíî çàïèñàòü òàê:

èëè

A·x = b. (1)

Ðàâåíñòâî (1) íàçûâàåòñÿ ìàòðè÷íûì óðàâíåíèåì èëè ñèñòåìîé óðàâíåíèé â ìàòðè÷íîì âèäå.

Ìàòðèöà À êîýôôèöèåíòîâ ïðè íåèçâåñòíûõ íàçûâàåòñÿ ãëàâíîé ìàòðèöåé ñèñòåìû.

Èíîãäà ðàññìàòðèâàþò òàêæå ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû, ò. å. ãëàâíóþ ìàòðèöó ñèñòåìû, äîïîëíåííóþ ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, êîòîðóþ çàïèñûâàþò â ñëåäóþùåì âèäå:

Ëþáóþ ëèíåéíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîì âèäå. Íàïðèìåð, ïóñòü äàíà ñèñòåìà:

Ýòà ñèñòåìà èç äâóõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè – x, y,.  âûñøåé ìàòåìàòèêå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìû èç î÷åíü áîëüøîãî ÷èñëà óðàâíåíèé ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì íåèçâåñòíûõ è ïîýòîìó íåèçâåñòíûå ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü òîëüêî áóêâîé õ, íî ñ èíäåêñàìè:

Çàïèøåì ýòó ñèñòåìó â ìàòðè÷íîì âèäå:

Çäåñü ãëàâíàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû:

Ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà áóäåò èìåòü âèä:

Ðåøåíèÿ ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé.

Ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ðåøàþòñÿ ïðè ïîìîùè îáðàòíûõ ìàòðèö. Óðàâíåíèå ðåøàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü ìàòðèöà À – íåâûðîæäåííàÿ (D ≠ 0), òîãäà ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ìàòðèöà À-1. Óìíîæèâ íà íåå îáå ÷àñòè ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ, èìååì À-1(ÀÕ) = À-1Â. Èñïîëüçóÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ, ïåðåïèøåì ýòî ðàâåíñòâî â âèäå

(À-1À) Õ = À-1Â.

Ïîñêîëüêó À-1 À = Å è ÅÕ = Õ, íàõîäèì:

Õ = À-1Â.

Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå, íóæíî:

1.   Íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó À-1.

2.   Íàéòè ïðîèçâåäåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû À-1 íà ìàòðèöó ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ Â, ò. å À-1Â.

Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì ðàâíûõ ìàòðèö, çàïèñàòü îòâåò.

Ïðè ýòîì ñîáñòâåííî íàõîæäåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû – ïðîöåññ äîñòàòî÷íî òðóäîåìêèé è åãî ïðîãðàììèðîâàíèå âðÿä ëè ìîæíî íàçâàòü ýëåìåíòàðíîé çàäà÷åé. Ïîýòîìó íà ïðàêòèêå ÷àùå ïðèìåíÿþò ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

Ê ÷èñëåííûì ìåòîäàì ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñÿò òàêèå êàê: ìåòîä Ãàóññà, ìåòîä Êðàìåðà, èòåðàòèâíûå ìåòîäû.  ìåòîäå Ãàóññà, íàïðèìåð, ðàáîòàþò íàä ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé ñèñòåìû. À â ìåòîäå Êðàìåðà – ñ îïðåäåëèòåëÿìè ñèñòåìû, îáðàçîâàííûìè ïî ñïåöèàëüíîìó ïðàâèëó.

Ìåòîä Êðàìåðà.

Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïî ìåòîäó Êðàìåðà ïîñëåäîâàòåëüíî âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùèé àëãîðèòì:

1.         Çàïèñûâàþò ñèñòåìó â ìàòðè÷íîì âèäå (åñëè ýòî åùå íå ñäåëàíî).

2.         Âû÷èñëÿþò ãëàâíûé îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû:

3.         Âû÷èñëÿþò âñå äîïîëíèòåëüíûå îïðåäåëèòåëè ñèñòåìû:

4.         Åñëè ãëàâíûé îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû íå ðàâåí íóëþ, òî âûïîëíÿþò ïóíêò 5. Èíà÷å ðàññìàòðèâàþò âîïðîñ î ðàçðåøèìîñòè äàííîé ñèñòåìû (èìååò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé èëè íå èìååò ðåøåíèé). Íàõîäÿò çíà÷åíèÿ âñåõ íåèçâåñòíûõ ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè, êîòîðûå èìåþò âèä:

Ïðèìåð 1

Ðåøèòü ïî ìåòîäó Êðàìåðà ñèñòåìó èç òðåõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè:

Ðåøåíèå

Çàïèøåì ãëàâíûé è ïîáî÷íûå îïðåäåëèòåëè ñèñòåìû:

Âû÷èñëèì ýòè îïðåäåëèòåëè:

Δ = 3*4*(-4)+7*(-3)*5+(-2)*(-8)*5-5*4*5-3*(-3)*(-8)-7*(-2)*(-4) = 48-105+80-100-72-56 = 128-333 = -205.

Δ1 = -112+(-45)+(-192)-(-240)-24-168 = -112-45-192+240-24-168 = 240-541 = -301.

Δ2 = -36-420-280-75+196-288 = 196-1099 = -903.

Δ3 = -144-147-30-140+27-168 = -629+27 = -602.

Ãëàâíûé îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû íå ðàâåí íóëþ. Íàõîäèì íåèçâåñòíûå ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà.

Ïîäñòàâèì íàéäåííûå çíà÷åíèÿ îïðåäåëèòåëåé â ôîðìóëû Êðàìåðà:

x1 = Δ1/Δ = -301/(-205) = 1,468292682927 ≈ 1,47;

x2 = Δ2/Δ = -903/(-205) = 4,40487804878 ≈ 4,4;

x3 = Δ3/Δ = -602/(-205) = 2,936585365854 ≈ 2,93.

Âûâîä.

Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïî ìåòîäó Êðàìåðà èñïîëüçóþòñÿ ôîðìóëû, â êîòîðûõ ó÷àñòâóþò êàê ãëàâíûé, òàê è äîïîëíèòåëüíûå îïðåäåëèòåëè ñèñòåìû:

Íàïîìíèì, ÷òî ãëàâíûì îïðåäåëèòåëåì ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëü ãëàâíîé ìàòðèöû ñèñòåìû, ñîñòàâëåííîé èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè íåèçâåñòíûõ:

Åñëè â ãëàâíîì îïðåäåëèòåëå ñèñòåìû çàìåíèòü ïîî÷åðåäíî ñòîëáöû êîýôôèöèåíòîâ ïðè x1, x2,...xn íà ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, òî ïîëó÷èì n äîïîëíèòåëüíûõ îïðåäåëèòåëåé (äëÿ êàæäîãî èç n íåèçâåñòíûõ):

Ïðè ýòîì âàæåí âîïðîñ î ðàçðåøèìîñòè äàííîé ñèñòåìû, êîòîðûé ðåøàåòñÿ ñðàâíåíèåì ãëàâíîãî è äîïîëíèòåëüíûõ îïðåäåëèòåëåé ñèñòåìû ñ íóëåì:

Ìåòîä Ãàóññà ïðÿìîé è îáðàòíûé õîä.

Ðàññìîòðèì ìåòîä Ãàóññà. Íàïðèìåð, ïóñòü äàíà ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà íåêîòîðîé ñèñòåìû m ëèíåéíûõ óðàâíåíèé c n íåèçâåñòíûìè:

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî a11 ≠ 0 (åñëè ýòî íå òàê, òî äîñòàòî÷íî ïåðåñòàâèòü ïåðâóþ è íåêîòîðóþ äðóãóþ ñòðîêó ðàñøèðåííîé ìàòðèöû ìåñòàìè). Ïðîâåäåì ñëåäóþùèå ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ:

C2-(a21/a11)*C1,

...

Cm-(am1/a11)*C1,

ò.å. Ci-(ai1/a11)*C1, i = 2, 3, ..., m.

Ò. å. îò êàæäîé ñòðîêè ðàñøèðåííîé ìàòðèöû (êðîìå ïåðâîé) îòíèìàåì ïåðâóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà ÷àñòíîå îò äåëåíèÿ ïåðâîãî ýëåìåíòà ýòîé ñòðîêè íà äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò à11.

 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ìàòðèöó:

Ò. å. ïåðâàÿ ñòðîêà îñòàëàñü áåç èçìåíåíèé, à â ñòîëáöå ïîä à11 íà âñåõ ìåñòàõ îêàçàëèñü íóëè. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ êîñíóëèñü âñåõ ýëåìåíòîâ ñòðîê, íà÷èíàÿ ñî âòîðîé, âñåé ðàñøèðåííîé ìàòðèöû ñèñòåìû.

Òåïåðü íàøà çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïîëó÷èòü íóëè ïîäî âñåìè äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè ìàòðèöû À – aij, ãäå I = j.

Ïîâòîðèì íàøè ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, íî óæå äëÿ ýëåìåíòà α22.

C1-(a12/α22)*C2,

...

Cm-(αm2/α22)*C2,

ò.å. Ci-(αi2/α22)*C2, i = 3, ..., m.

Ò. å. îò êàæäîé ñòðîêè ðàñøèðåííîé ìàòðèöû (òåïåðü êðîìå ïåðâîé è âòîðîé) îòíèìàåì âòîðóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà ÷àñòíîå îò äåëåíèÿ ïåðâîãî ýëåìåíòà ýòîé (òåêóùåé) ñòðîêè íà äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò α22.

Òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîäîëæàþòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà ìàòðèöà íå ïðèâåäåòñÿ ê âåðõíåå - òðåóãîëüíîìó âèäó. Ò. å. ïîä ãëàâíîé äèàãîíàëüþ íå îêàæóòñÿ âñå íóëè:

Âñïîìíèâ, ÷òî êàæäàÿ ñòðîêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíî èç óðàâíåíèé ëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî ïîñëåäíåå m-îå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä:

γmn*xn = δm.

Îòñþäà ëåãêî ìîæíî íàéòè çíà÷åíèå ïåðâîãî êîðíÿ – xn = δm/γmn.

Ïîäñòàâèâ ýòî çíà÷åíèå â ïðåäûäóùåå m-1-å óðàâíåíèå, ëåãêî ïîëó÷èì çíà÷åíèå xn-1-îãî êîðíÿ.

Òàêèì îáðàçîì, ïîäíèìàÿñü äî ñàìîãî âåðõà îáðàòíûì õîäîì ìåòîäà Ãàóññà, ìû ïîñëåäîâàòåëüíî íàéäåì âñå êîðíè ñèñòåìû óðàâíåíèé.

Ïðèìåð 1

Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé:

Ãëàâíûé îïðåäåëèòåëü äàííîé ñèñòåìû:

Δ = [1*(-4)*(-2)+2*2*1+(-1)*(-1)*(-1)]-[1*(-4)*(-1)+2*(-1)*(-2)+2*(-1)*1] = [8+4-1]-[4+4-2] = 11-6 =5,

ò. å. Δ ≠ 0.

Ò. å. ñèñòåìà îïðåäåëåíà è ðàçðåøèìà. Ðåøèì åå ïî ìåòîäó Ãàóññà.

Ïðîâåäåì ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà, âûïèñàâ ïðåäâàðèòåëüíî ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû:

Ïîëó÷èì íóëè ïîä ãëàâíîé äèàãîíàëüþ â ïåðâîì ñòîëáöå ðàñøèðåííîé ìàòðèöû. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ íóëÿ â ýëåìåíòå a21 (ò. å. ïîä äèàãîíàëüþ âî âòîðîé ñòðîêå ìàòðèöû) âòîðóþ ñòðîêó ìàòðèöû ïðåîáðàçóåì ïî ôîðìóëå C2-(a21/a11)*C1 = C2-(2/1)*C1 = C2-2*C1:

Àíàëîãè÷íî ïîñòóïàåì è ñ ýëåìåíòîì à31 (ò. å. ïîä äèàãîíàëüþ â òðåòüåé ñòðîêå ìàòðèöû). Òðåòüþ ñòðîêó ìàòðèöû ïðåîáðàçóåì ïî ôîðìóëå C3-(a31/a11)*C1 = C3-(-1/1)*C1 = C3+C1:

Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè íóëè ïîä ãëàâíîé äèàãîíàëüþ â ïåðâîì ñòîëáöå ðàñøèðåííîé ìàòðèöû. Îñòàëîñü ïîëó÷èòü íóëü ïîä ãëàâíîé äèàãîíàëüþ âî âòîðîì ñòîëáöå ìàòðèöû, ò. å. íà ìåñòå ýëåìåíòà à32. Äëÿ ýòîãî òðåòüþ ñòðîêó ìàòðèöû ïðåîáðàçóåì ïî ôîðìóëå C3-(a32/a22)*C2 = C3-(1/-2)*C2 = C3+1/2C2:

Òàêèì îáðàçîì, ïðîâåäÿ ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà, ìû ïîëó÷èëè ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû, ïðèâåäåííóþ ê âåðõíå-òðåóãîëüíîìó âèäó:

Ýòà ìàòðèöà ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìå:

Îáðàòíûì õîäîì ìåòîäà Ãàóññà íàéäåì êîðíè ñèñòåìû. Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íàéäåì êîðåíü õ3:

-5/2x3 = 3/2,

x3 = (3/2):(-5/2) = 3/2*(-2/5) = -3/5.

Êîðåíü x3 = -3/5 íàéäåí. Ïîäñòàâèì åãî â âåðõíåå (âòîðîå) óðàâíåíèå ñèñòåìû (-2x2-3x3 = 1):

-2x2-3(-3/5) = 1,

-2x2+9/5 = 1,

-2x2 = 1-9/5,

-2x2 = -4/5,

x2 = (-4/5):(-2) = (-4/5)*(-1/2) = 2/5.

Êîðåíü x2 = 2/5 íàéäåí. Ïîäñòàâèì åãî è êîðåíü õ3 â âåðõíåå (ïåðâîå) óðàâíåíèå ñèñòåìû (x1-x2+x3 = 0):

x1-2/5+(-3/5) = 0,

x1-5/5 = 0,

x1 = 5/5 = 1.

Ïðîâåðêà:

ò. å.

ò. å.

è ò. ä.

Âûâîä.

Èòàê, ìåòîä Ãàóññà (èëè, èíà÷å, ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ) ñîñòîèò â ñëåäóþùåì:

1.         Ïóòåì ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñèñòåìó óðàâíåíèé ïðèâîäÿò ê ýêâèâàëåíòíîé åé ñèñòåìå ñ âåðõíå-òðåóãîëüíîé ìàòðèöåé. Ýòè äåéñòâèÿ íàçûâàþò ïðÿìûì õîäîì.

2.         Èç ïîëó÷åííîé òðåóãîëüíîé ñèñòåìû ïåðåìåííûå íàõîäÿò ñ ïîìîùüþ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïîäñòàíîâîê (îáðàòíûé õîä).

3.         Ïðè ýòîì âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîâîäÿòñÿ íàä òàê íàçûâàåìîé ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé ñèñòåìû, êîòîðóþ è ïðèâîäÿò ê âåðõíåå - òðåóãîëüíîìó âèäó â ïðÿìîì õîäå ìåòîäà.


Èòåðàöèÿ äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì.

Ñïîñîá èòåðàöèé äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé, ñõîäÿùèõñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ ñèñòåìû, ïîäîáíî òîìó, êàê ýòî äåëàåòñÿ äëÿ îäíîãî óðàâíåíèÿ.

Äëÿ îïðåäåëåííîñòè îãðàíè÷èìñÿ ñèñòåìîé èç ÷åòûðåõ óðàâíåíèé ñ ÷åòûðüìÿ íåèçâåñòíûìè (ñèñòåìà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà), êîòîðóþ çàïèøåì â âèäå:

Ðàçðåøèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî õ1:

õ1 = (-a12/a11)õ2-a13/a11õ3-a14/a11õ4-a15/a11.

Çàòåì ðàçðåøèì âòîðîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî õ2 è ò. ä. Òîãäà ñèñòåìó ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:

ãäå α = -aik/aii, i = 1, 2, 3, 4; k = 1, 2, 3, 4, 5.

Ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì çàïèñè âèäà:

Ïðè ýòîì  ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ L1 ôàêòè÷åñêè íå çàâèñèò îò õ1.

Çàäàäèì êàêèå-ëèáî íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ (íóëåâûå ïðèáëèæåíèÿ):

õ1(0), õ2(0), õ3(0), õ4(0).

Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ â ïðàâûå ÷àñòè ñèñòåìû (*), ïîëó÷èì ïåðâûå ïðèáëèæåíèÿ:

Ïîëó÷åííûå ïåðâûå ïðèáëèæåíèÿ ìîãóò áûòü òàê æå èñïîëüçîâàíû äëÿ ïîëó÷åíèÿ âòîðûõ, òðåòüèõ è ò. ä. ïðèáëèæåíèé. Ò. å. ìîæíî çàïèñàòü:

Óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà.

Óñòàíîâèì óñëîâèÿ, âûïîëíåíèå êîòîðûõ îáåñïå÷èò ñõîäèìîñòü ïîëó÷àþùèõñÿ ïðèáëèæåíèé ê èñòèííîìó (òî÷íîìó) ðåøåíèþ ñèñòåìû õ1, õ2, õ3, õ4.

Íå âäàâàÿñü â ïîäðîáíîñòè, ñêàæåì, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ñõîäèëñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ, äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû áûëè ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ äèàãîíàëüíûìè.

Ýòî óñëîâèå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü è áîëåå òî÷íî:

Äëÿ ñõîäèìîñòè ïðîöåññà èòåðàöèé äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â êàæäîì ñòîëáöå ñóììà îòíîøåíèé êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû ê äèàãîíàëüíûì ýëåìåíòàì, âçÿòûì èç òîé æå ñòðîêè, áûëà ñòðîãî ìåíüøå åäèíèöû:

Èòåðàöèÿ ßêîáè.

Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:

Óðàâíåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:

Ýòî ïîçâîëÿåò ïðåäëîæèòü ñëåäóþùèé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ:

èëè (äðóãîé âèä çàïèñè)

Ïîêàæåì, ÷òî åñëè íà÷àòü ñ òî÷êè P0 = (õ1(0), õ2(0), õ3(0), õ4(0)) = (1, 2, 2), òî èòåðàöèÿ (3) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ (2, 4, 3). Ïîäñòàâèì õ1 = 1, õ2 = 2, õ2 = 2 â ïðàâóþ ÷àñòü êàæäîãî óðàâíåíèÿ èç (3), ÷òîáû ïîëó÷èòü íîâûå çíà÷åíèÿ:

Íîâàÿ òî÷êà P1 = (õ1(1), õ2(1), õ3(1), õ4(1)) = (1.75, 3.375, 3), áëèæå, ÷åì P0.

Èòåðàöèÿ, èñïîëüçóþùàÿ (3), ãåíåðèðóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê {Pk}, êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ (2, 4, 3):

k õ1(k)   õ2(k) õ3(k)
0 1.0 2.0 2.0
1 1.75 3.375 3.0
2 1.84375 3.875 3.025
3 1.9625 3.925 2.9625
4 1.990625 3.9765625 3.0
5 1.99414063 3.9953125 3.0009375
15 1.99999993 3.99999985 3.0009375
19 2.0 4.0 3.0

Ýòîò ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ èòåðàöèåé ßêîáè è ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ðåøåíèÿ îïðåäåëåííûõ òèïîâ ëèíåéíûõ ñèñòåì.

Èòåðàöèÿ Ãàóññà-Çåéäåëÿ.

Ïðîöåññ èòåðàöèè ßêîáè èíîãäà ìîæíî ìîäèôèöèðîâàòü äëÿ óñêîðåíèÿ ñõîäèìîñòè.

Îòìåòèì, ÷òî èòåðàòèâíûé ïðîöåññ ßêîáè ïðîèçâîäèò òðè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè – {õ1(k)}, {õ2(k)}, {õ3(k)}, {õ4(k)}. Êàæåòñÿ ðàçóìíûì, ÷òî õ1(k+1) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî âìåñòî õ2(k). Àíàëîãè÷íî õ1(k+1) è õ2(k+1) ìîæíî èñïîëüçîâàòü â âû÷èñëåíèè õ3(k+1). Íàïðèìåð, äëÿ óðàâíåíèé èç ñèñòåìû (1) ýòî äàñò ñëåäóþùèé âèä èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà Ãàóññà-Çåéäåëÿ, èñïîëüçóþùèé (3*):

Òàêîé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ äàñò ðåçóëüòàòû:

k

õ1(k)

õ2(k)

õ3(k)

0 1.0 2.0 2.0
1 1.75 3.75 2.95
2 1.95 3.96875 2.98625
3 1.995625 3.99609375 2.99903125
8 1.99999983 3.99999988 2.99999996
9 1.99999998 3.99999999 3.0
10 2.0 4.0 3.0

Ò. å. ê òî÷íîìó ðåøåíèþ ìû ïðèøëè óæå íà 10-îì øàãå èòåðàöèè, à íå íà 19, êàê â èòåðàöèè ßêîáè.

Âûâîä.

1.         Ñïîñîá èòåðàöèé äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé, ñõîäÿùèõñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ ñèñòåìû. Äëÿ ýòîãî ñèñòåìà ïðèâîäèòñÿ ê âèäó (äëÿ ñëó÷àÿ ñèñòåìû èç ÷åòûðåõ óðàâíåíèé):

Ýòè ôîðìóëû êàê ðàç è çàäàþò ñîáñòâåííî èòåðàöèîííûé ïðîöåññ.

2.         Ïðè ýòîì ÷òîáû èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ñõîäèëñÿ ê òî÷íîìó ðåøåíèþ, äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû áûëè ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ äèàãîíàëüíûìè.

Ýòî óñëîâèå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü è áîëåå òî÷íî:

Äëÿ ñõîäèìîñòè ïðîöåññà èòåðàöèé äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â êàæäîì ñòîëáöå ñóììà îòíîøåíèé êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû ê äèàãîíàëüíûì ýëåìåíòàì, âçÿòûì èç òîé æå ñòðîêè, áûëà ñòðîãî ìåíüøå åäèíèöû:

3.         Ñëåäóåò òàê æå ñêàçàòü, ÷òî èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ìîæåò ïðîâîäèòüñÿ êàê â âèäå èòåðàöèè ßêîáè, òàê è â âèäå èòåðàöèè Ãàóññà-Çåéäåëÿ.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ñõîäèìîñòü èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà ìîæåò ñóùåñòâåííî óëó÷øèòüñÿ.


                                   II.         Ïðàêòè÷åñêàÿ ÷àñòü.

1) Ìåòîä îáðàòíîé ìàòðèöû.

Ìåòîä îáðàòíîé ìàòðèöû

x1

x2

x3

x4

12 -4 0 6 2
A= -4 21 5 3 B= 4
-3 2 -22 1 -2
-2 -3 5 23 4
0,083 0,013 -0,002 -0,023

A-1=

0,016 0,048 0,009 -0,011
-0,009 0,003 -0,044 0,004
0,011 0,007 0,010 0,039
x= 0,129
0,165
0,097
0,186


2) Ìåòîä Êðàìåðà.

Ìåòîä Êðàìåðà

x1

x2

x3

x4

12 -4 0 6 2
A= -4 21 5 3 B= 4
-3 2 -22 1 -2
-2 -3 5 23 4
'A'= -134088
2 -4 0 6

A1=

4 21 5 3
-2 2 -22 1
4 -3 5 23

'A1'=

-17296

x1=

0,129
12 2 0 6

A2=

-4 4 5 3
-3 -2 -22 1
-2 4 5 23

'A2'=

-22188

x2=

0,165
12 -4 2 6

A3=

-4 21 4 3
-3 2 -2 1
-2 -3 4 23

'A3'=

-12980

x3=

0,097
12 -4 0 2

A4=

-4 21 5 4
-3 2 -22 -2
-2 -3 5 4

'A4'=

-24896

x4=

0,186
x= 0,129
0,165
0,097
0,186


3) Ìåòîä Ãàóññà.

Ìåòîä Ãàóññà

x1

x2

x3

x4

12 -4 0 6 2
A= -4 21 5 3 B= 4
-3 2 -22 1 -2
-2 -3 5 23 4
'A'= -134088
1,000 -0,333 0,000 0,500 0,167
-4,000 21,000 5,000 3,000 4,000
-3,000 2,000 -22,000 1,000 -2,000
-2,000 -3,000 5,000 23,000 4,000
1,000 -0,333 0,000 0,500 0,167
0,000 25,333 5,000 5,000 4,667
0,000 1,000 -22,000 2,500 -1,500
0,000 -3,667 5,000 24,000 4,333
1,000 -0,333 0,000 0,500 0,167
0,000 1,000 0,197 0,197 0,184
0,000 0,000 -22,197 2,303 -1,684
0,000 0,000 5,724 24,724 5,009
1,000 -0,333 0,000 0,500 0,167
0,000 1,000 0,197 0,197 0,184
0,000 0,000 1,000 -0,104 0,076
0,000 0,000 0,000 25,317 4,574
x= 0,120
0,130
0,095
0,181


4) Ëèñòèíã ïðîãðàììû (Ìåòîä Êðàìåðà, Ìåòîä Ãàóññà, Ìåòîä îáðàòíîé ìàòðèöû).

Begin VB.Form frmAriel

   BorderStyle     =   1  'Åäèíñòâåííûé Ôèêñèðîâàííûé

   Caption         =   "Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé"

   ClientHeight    =   6315

   ClientLeft      =   4365

   ClientTop       =   2430

   ClientWidth     =   7815

   BeginProperty Font

      Name            =   "MS Sans Serif"

      Size            =   12

      Charset         =   204

      Weight          =   700

      Underline       =   0   'False

      Italic          =   -1  'True

      Strikethrough   =   0   'False

   EndProperty

   LinkTopic       =   "Ôîðìà1"

   MaxButton       =   0   'False

   MinButton       =   0   'False

   ScaleHeight     =   6315

   ScaleWidth      =   7815

   Begin VB.TextBox txtMOMZ

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   15.75

         Charset         =   204

         Weight          =   400

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   3960

      TabIndex        =   45

      Top             =   5520

      Width           =   975

   End

   Begin VB.TextBox txtMOMY

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   15.75

         Charset         =   204

         Weight          =   400

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   2640

      TabIndex        =   44

      Top             =   5520

      Width           =   975

   End

   Begin VB.TextBox txtMOMX

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty DataFormat

         Type            =   1

         Format          =   "0,0000"

         HaveTrueFalseNull=   0

         FirstDayOfWeek  =   0

         FirstWeekOfYear =   0

         LCID            =   1049

         SubFormatType   =   1

      EndProperty

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   15.75

         Charset         =   204

         Weight          =   400

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   1320

      TabIndex        =   43

      Top             =   5520

      Width           =   975

   End

   Begin VB.TextBox txtMGZ

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   15.75

         Charset         =   204

         Weight          =   400

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   3960

      TabIndex        =   42

      Top             =   4800

      Width           =   975

   End

   Begin VB.TextBox txtMGY

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   15.75

         Charset         =   204

         Weight          =   400

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   2640

      TabIndex        =   41

      Top             =   4800

      Width           =   975

   End

   Begin VB.TextBox txtMGX

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty DataFormat

         Type            =   1

         Format          =   "0,0000"

         HaveTrueFalseNull=   0

         FirstDayOfWeek  =   0

         FirstWeekOfYear =   0

         LCID            =   1049

         SubFormatType   =   1

      EndProperty

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   15.75

         Charset         =   204

         Weight          =   400

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   1320

      TabIndex        =   40

      Top             =   4800

      Width           =   975

   End

   Begin VB.TextBox txtMKZ

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   15.75

         Charset         =   204

         Weight          =   400

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   3960

      TabIndex        =   39

      Top             =   4080

      Width           =   975

   End

   Begin VB.TextBox txtMKY

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   15.75

         Charset         =   204

         Weight          =   400

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   2640

      TabIndex        =   38

      Top             =   4080

      Width           =   975

   End

   Begin VB.TextBox txtMKX

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty DataFormat

         Type            =   1

         Format          =   "0,0000"

         HaveTrueFalseNull=   0

         FirstDayOfWeek  =   0

         FirstWeekOfYear =   0

         LCID            =   1049

         SubFormatType   =   1

      EndProperty

      DataMember      =   "0,0000"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   15.75

         Charset         =   204

         Weight          =   400

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   1320

      Locked          =   -1  'True

      TabIndex        =   37

      Top             =   4080

      Width           =   975

   End

   Begin VB.TextBox txtA33

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty DataFormat

         Type            =   1

         Format          =   "0,000"

         HaveTrueFalseNull=   0

         FirstDayOfWeek  =   0

         FirstWeekOfYear =   0

         LCID            =   1049

         SubFormatType   =   1

      EndProperty

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   14.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   4440

      TabIndex        =   30

      Top             =   2640

      Width           =   1095

   End

   Begin VB.TextBox txtA23

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty DataFormat

         Type            =   1

         Format          =   "0,000"

         HaveTrueFalseNull=   0

         FirstDayOfWeek  =   0

         FirstWeekOfYear =   0

         LCID            =   1049

         SubFormatType   =   1

      EndProperty

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   14.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   4440

      TabIndex        =   29

      Top             =   2040

      Width           =   1095

   End

   Begin VB.TextBox txtA13

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty DataFormat

         Type            =   1

         Format          =   "0,000"

         HaveTrueFalseNull=   0

         FirstDayOfWeek  =   0

         FirstWeekOfYear =   0

         LCID            =   1049

         SubFormatType   =   1

      EndProperty

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   14.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   4440

      TabIndex        =   28

      Top             =   1440

      Width           =   1095

   End

   Begin VB.TextBox txtA32

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty DataFormat

         Type            =   1

         Format          =   "0,000"

         HaveTrueFalseNull=   0

         FirstDayOfWeek  =   0

         FirstWeekOfYear =   0

         LCID            =   1049

         SubFormatType   =   1

      EndProperty

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   14.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   2520

      TabIndex        =   24

      Top             =   2640

      Width           =   1095

   End

   Begin VB.TextBox txtA22

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty DataFormat

         Type            =   1

         Format          =   "0,000"

         HaveTrueFalseNull=   0

         FirstDayOfWeek  =   0

         FirstWeekOfYear =   0

         LCID            =   1049

         SubFormatType   =   1

      EndProperty

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   14.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   2520

      TabIndex        =   23

      Top             =   2040

      Width           =   1095

   End

   Begin VB.TextBox txtA12

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty DataFormat

         Type            =   1

         Format          =   "0,000"

         HaveTrueFalseNull=   0

         FirstDayOfWeek  =   0

         FirstWeekOfYear =   0

         LCID            =   1049

         SubFormatType   =   1

      EndProperty

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   14.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   2520

      TabIndex        =   22

      Top             =   1440

      Width           =   1095

   End

   Begin VB.CommandButton cmdExit

      Caption         =   "Âûõîä"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   14.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   -1  'True

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   495

      Left            =   5400

      TabIndex        =   18

      Top             =   5520

      Width           =   2055

   End

   Begin VB.CommandButton cmdCount

      Caption         =   "Âû÷èñëèòü"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   14.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   -1  'True

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   495

      Left            =   5400

      TabIndex        =   17

      Top             =   4680

      Width           =   2055

   End

   Begin VB.CommandButton cmdClean

      Caption         =   "Î÷èñòèòü"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   14.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   -1  'True

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   495

      Left            =   5400

      TabIndex        =   16

      Top             =   3840

      Width           =   2055

   End

   Begin VB.TextBox txtB3

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty DataFormat

         Type            =   1

         Format          =   "0,000"

         HaveTrueFalseNull=   0

         FirstDayOfWeek  =   0

         FirstWeekOfYear =   0

         LCID            =   1049

         SubFormatType   =   1

      EndProperty

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   14.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   6480

      TabIndex        =   12

      Top             =   2640

      Width           =   1095

   End

   Begin VB.TextBox txtB2

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty DataFormat

         Type            =   1

         Format          =   "0,000"

         HaveTrueFalseNull=   0

         FirstDayOfWeek  =   0

         FirstWeekOfYear =   0

         LCID            =   1049

         SubFormatType   =   1

      EndProperty

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   14.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   6480

      TabIndex        =   11

      Top             =   2040

      Width           =   1095

   End

   Begin VB.TextBox txtB1

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty DataFormat

         Type            =   1

         Format          =   "0,000"

         HaveTrueFalseNull=   0

         FirstDayOfWeek  =   0

         FirstWeekOfYear =   0

         LCID            =   1049

         SubFormatType   =   1

      EndProperty

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   14.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   6480

      TabIndex        =   10

      Top             =   1440

      Width           =   1095

   End

   Begin VB.TextBox txtA31

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty DataFormat

         Type            =   1

         Format          =   "0,000"

         HaveTrueFalseNull=   0

         FirstDayOfWeek  =   0

         FirstWeekOfYear =   0

         LCID            =   1049

         SubFormatType   =   1

      EndProperty

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   14.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   600

      TabIndex        =   9

      Top             =   2640

      Width           =   1095

   End

   Begin VB.TextBox txtA21

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty DataFormat

         Type            =   1

         Format          =   "0,000"

         HaveTrueFalseNull=   0

         FirstDayOfWeek  =   0

         FirstWeekOfYear =   0

         LCID            =   1049

         SubFormatType   =   1

      EndProperty

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   14.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   600

      TabIndex        =   8

      Top             =   2040

      Width           =   1095

   End

   Begin VB.TextBox txtA11

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      BeginProperty DataFormat

         Type            =   1

         Format          =   "0,0000"

         HaveTrueFalseNull=   0

         FirstDayOfWeek  =   0

         FirstWeekOfYear =   0

         LCID            =   1049

         SubFormatType   =   1

      EndProperty

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   14.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   600

      TabIndex        =   7

      Top             =   1440

      Width           =   1095

   End

   Begin VB.Line Ñòðîêà3

      X1              =   5760

      X2              =   5760

      Y1              =   1080

      Y2              =   3360

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà29

      Caption         =   "Z"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   255

      Left            =   4920

      TabIndex        =   36

      Top             =   1080

      Width           =   255

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà28

      Caption         =   "Y"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   255

      Left            =   3000

      TabIndex        =   35

      Top             =   1080

      Width           =   255

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà27

      Caption         =   "X"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   1080

      TabIndex        =   34

      Top             =   1080

      Width           =   255

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà23

      Caption         =   "Z"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   255

      Left            =   4440

      TabIndex        =   33

      Top             =   3480

      Width           =   255

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà22

      Caption         =   "Y"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   255

      Left            =   3120

      TabIndex        =   32

      Top             =   3480

      Width           =   255

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà21

      Caption         =   "X"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   255

      Left            =   1800

      TabIndex        =   31

      Top             =   3480

      Width           =   255

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà20

      Caption         =   "À33"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   3840

      TabIndex        =   27

      Top             =   2640

      Width           =   375

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà19

      Caption         =   "À23"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   3840

      TabIndex        =   26

      Top             =   2040

      Width           =   375

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà18

      Caption         =   "À13"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   3840

      TabIndex        =   25

      Top             =   1440

      Width           =   375

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà17

      Caption         =   "À32"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   1920

      TabIndex        =   21

      Top             =   2640

      Width           =   375

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà16

      Caption         =   "À22"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   1920

      TabIndex        =   20

      Top             =   2040

      Width           =   375

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà15

      Caption         =   "À12"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   1920

      TabIndex        =   19

      Top             =   1440

      Width           =   375

   End

   Begin VB.Line Ñòðîêà2

      X1              =   0

      X2              =   7800

      Y1              =   3360

      Y2              =   3360

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà12

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      Caption         =   "Ìåòîä îáðàòíîé ìàòðèöû"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   11.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   855

      Left            =   0

      TabIndex        =   15

      Top             =   5280

      Width           =   1095

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà11

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      Caption         =   "Ìåòîä Ãàóññà"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   11.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   615

      Left            =   0

      TabIndex        =   14

      Top             =   4560

      Width           =   1095

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà10

      Alignment       =   2  'Âûðàâíèâàíèå ïî Öåíòðó

      Caption         =   "Ìåòîä Êðàìåðà"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   11.25

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   615

      Left            =   0

      TabIndex        =   13

      Top             =   3840

      Width           =   1095

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà7

      Caption         =   "Â3"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   6000

      TabIndex        =   6

      Top             =   2640

      Width           =   255

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà6

      Caption         =   "Â2"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   6000

      TabIndex        =   5

      Top             =   2040

      Width           =   255

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà5

      Caption         =   "Â1"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   6000

      TabIndex        =   4

      Top             =   1440

      Width           =   255

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà4

      Caption         =   "À31"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   0

      TabIndex        =   3

      Top             =   2640

      Width           =   375

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà3

      Caption         =   "À21"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   0

      TabIndex        =   2

      Top             =   2040

      Width           =   375

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà2

      Caption         =   "À11"

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   375

      Left            =   0

      TabIndex        =   1

      Top             =   1440

      Width           =   375

   End

   Begin VB.Label Ìåòêà1

      Caption         =   $"frmSlay.frx":0000

      BeginProperty Font

         Name            =   "Times New Roman"

         Size            =   12

         Charset         =   204

         Weight          =   700

         Underline       =   0   'False

         Italic          =   0   'False

         Strikethrough   =   0   'False

      EndProperty

      Height          =   855

      Left            =   120

      TabIndex        =   0

      Top             =   120

      Width           =   7575

   End

End

Attribute VB_Name = "frmAriel"

Attribute VB_GlobalNameSpace = False

Attribute VB_Creatable = False

Attribute VB_PredeclaredId = True

Attribute VB_Exposed = False

Private Sub cmdClean_Click()

Dim ñ As Byte

ñ = MsgBox("Õîòèòå î÷èñòèòü?", 33, "Î÷èñòêà")

If ñ = 1 Then

txtA11.Text = ""

txtA12.Text = ""

txtA13.Text = ""

txtA21.Text = ""

txtA22.Text = ""

txtA23.Text = ""

txtA31.Text = ""

txtA32.Text = ""

txtA33.Text = ""

txtB1.Text = ""

txtB2.Text = ""

txtB3.Text = ""

txtMKX.Text = ""

txtMGX.Text = ""

txtMOMX.Text = ""

txtMKY.Text = ""

txtMGY.Text = ""

txtMOMY.Text = ""

txtMKZ.Text = ""

txtMGZ.Text = ""

txtMOMZ.Text = ""

End If

End Sub

Private Sub cmdCount_Click()

If (Val(txtA11) * Val(txtA22) * Val(txtA33) + Val(txtA12) * Val(txtA23) * Val(txtA31) + Val(txtA21) * Val(txtA32) * Val(txtA13) - Val(txtA13) * Val(txtA22) * Val(txtA31) - Val(txtA12) * Val(txtA21) * Val(txtA33) - Val(txtA23) * Val(txtA32) * Val(txtA11)) = 0 Then

Dim g As Byte

g = MsgBox("Ðåøèòü äàííóþ ñèñòåìó ìåòîäîì Êðàìåðà è ìåòîäîì îáðàòíîé ìàòðèöû íåâîçìîæíî", 32, "Îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû ðàâåí 0")

Else

ds = (Val(txtA11) * Val(txtA22) * Val(txtA33) + Val(txtA12) * Val(txtA23) * Val(txtA31) + Val(txtA21) * Val(txtA32) * Val(txtA13) - Val(txtA13) * Val(txtA22) * Val(txtA31) - Val(txtA12) * Val(txtA21) * Val(txtA33) - Val(txtA23) * Val(txtA32) * Val(txtA11))

dx = (Val(txtB1) * Val(txtA22) * Val(txtA33) + Val(txtA12) * Val(txtA23) * Val(txtB3) + Val(txtB2) * Val(txtA32) * Val(txtA13) - Val(txtA13) * Val(txtA22) * Val(txtB3) - Val(txtA12) * Val(txtB2) * Val(txtA33) - Val(txtA23) * Val(txtA32) * Val(txtB1))

dy = (Val(txtA11) * Val(txtB2) * Val(txtA33) + Val(txtB1) * Val(txtA23) * Val(txtA31) + Val(txtA21) * Val(txtB3) * Val(txtA13) - Val(txtA13) * Val(txtB2) * Val(txtA31) - Val(txtB1) * Val(txtA21) * Val(txtA33) - Val(txtA23) * Val(txtB3) * Val(txtA11))

dz = (Val(txtA11) * Val(txtA22) * Val(txtB3) + Val(txtA12) * Val(txtB2) * Val(txtA31) + Val(txtA21) * Val(txtA32) * Val(txtB1) - Val(txtB1) * Val(txtA22) * Val(txtA31) - Val(txtA12) * Val(txtA21) * Val(txtB3) - Val(txtB2) * Val(txtA32) * Val(txtA11))

txtMKX.Text = (dx / ds)

txtMKY.Text = (dy / ds)

txtMKZ.Text = (dz / ds)

txtMOMX.Text = (((Val(txtA22) * Val(txtA33) - Val(txtA23) * Val(txtA32)) / ds) * Val(txtB1) + ((Val(txtA13) * Val(txtA32) - Val(txtA12) * Val(txtA33)) / ds) * Val(txtB2) + ((Val(txtA12) * Val(txtA23) - Val(txtA13) * Val(txtA22)) / ds) * Val(txtB3))

txtMOMY.Text = (((Val(txtA23) * Val(txtA31) - Val(txtA21) * Val(txtA33)) / ds) * Val(txtB1) + ((Val(txtA11) * Val(txtA33) - Val(txtA13) * Val(txtA31)) / ds) * Val(txtB2) + ((Val(txtA13) * Val(txtA21) - Val(txtA11) * Val(txtA23)) / ds) * Val(txtB3))

txtMOMZ.Text = (((Val(txtA21) * Val(txtA32) - Val(txtA22) * Val(txtA31)) / ds) * Val(txtB1) + ((Val(txtA12) * Val(txtA31) - Val(txtA11) * Val(txtA32)) / ds) * Val(txtB2) + ((Val(txtA11) * Val(txtA22) - Val(txtA12) * Val(txtA21)) / ds) * Val(txtB3))

End If

If Val(txtA11) = 0 Then

Dim gg As Byte

gg = MsgBox("Ðåøèòü äàííóþ ñèñòåìó ìåòîäîì Ãàóññà íåâîçìîæíî. Ïîìåíÿéòå óðàâíåíèÿ ìåñòàìè, è ïîïðîáóéòå ñíîâà", 48, "Êîýôôèöèåíò ïðè õ â ïåðâîì óðàâíåíèè ðàâåí 0")

Else

s1 = ((Val(txtB3) * Val(txtA11)) - (Val(txtB1) * Val(txtA31)))

s2 = ((Val(txtA22) * Val(txtA11)) - (Val(txtA12) * Val(txtA21)))

s3 = ((Val(txtB2) * Val(txtA11)) - (Val(txtB1) * Val(txtA21)))

s4 = ((Val(txtA32) * Val(txtA11)) - (Val(txtA12) * Val(txtA31)))

s5 = ((Val(txtA33) * Val(txtA11)) - (Val(txtA12) * Val(txtA31)))

s6 = s2

s7 = ((Val(txtA23) * Val(txtA11)) - (Val(txtA13) * Val(txtA21)))

s8 = s4

s12 = s1 * s2

s34 = s3 * s4

s56 = s5 * s6

s78 = s7 * s8

sh = s12 - s34

sz = s56 - s78

If sz = 0 Then

Dim ñ As Byte

ñ = MsgBox("Äåëèòü íà íîëü íåëüçÿ.", 48, "Îøèáêà")

Else

txtMGZ.Text = (sh / sz)

End If

sy1 = s3

sy2 = s2

sy3 = ((Val(txtA23) * Val(txtA11)) - (Val(txtA13) * Val(txtA21)))

sy4 = s2

sy12 = (sy1) / (sy2)

sy34 = (sy3) / (sy4)

txtMGY.Text = ((sy12) - ((sy34) * (sh / sz)))

sx1 = ((Val(txtB1)) / (Val(txtA11)))

sx2 = ((Val(txtA13)) / (Val(txtA11)))

sx3 = ((Val(txtA12)) / (Val(txtA11)))

txtMGX.Text = ((sx1) - ((sx2) * (sh / sz)) - ((sx3) * ((sy12) - ((sy34) * (sh / sz)))))

End If

End Sub

Private Sub cmdExit_Click()

Dim a As Byte

a = MsgBox("Õîòèòå âûéòè?", 33, "Âûõîä")

If a = 1 Then

End

End If

End Sub



Ïîëüçà ââåäåíèÿ ðàñ÷åòîâ.

Îãðîìíîå êîëè÷åñòâî ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ñòàâèò àêòóàëüíîé çàäà÷åé íå ñòîëüêî ñîçäàíèå íîâûõ, ñêîëüêî èññëåäîâàíèå è êëàññèôèêàöèþ ñòàðûõ, âûÿâëåíèå ëó÷øèõ. Àíàëèç âëèÿíèÿ îøèáîê ïîêàçàë, ÷òî ìåæäó ëó÷øèìè ìåòîäàìè íåò ïðèíöèïèàëüíîé ðàçíèöû ñ òî÷êè çðåíèÿ óñòîé÷èâîñòè ê îøèáêàì îêðóãëåíèÿ. Ñîçäàíèå ìîùíûõ êîìïüþòåðîâ ñóùåñòâåííî îñëàáèëî çíà÷åíèå ðàçëè÷èÿ ìåæäó ìåòîäàìè (â òàêèõ õàðàêòåðèñòèêàõ, êàê îáú¸ì òðåáóåìîé ïàìÿòè, êîëè÷åñòâî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé).  ýòèõ óñëîâèÿ íàèáîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûìè ñòàíîâÿòñÿ òå ìåòîäû, êîòîðûå íå î÷åíü îòëè÷àþòñÿ îò ëó÷øèõ ïî ñêîðîñòè è óäîáñòâó ðåàëèçàöèè íà êîìïüþòåðàõ, ïîçâîëÿþò ðåøàòü øèðîêèé êëàññ çàäà÷ êàê õîðîøî, òàê è ïëîõî îáóñëîâëåííûõ è äàâàòü ïðè ýòîì îöåíêó òî÷íîñòè âû÷èñëèòåëüíîãî ðåøåíèÿ.

 MathCAD è Excel ÷èñëåííûå ìåòîäû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òå æå ñàìûå îáùåïðèíÿòûå ðó÷íûå ðàñ÷¸òû, íî âûïîëíÿåìûå íå ÷åëîâåêîì, à êîìïüþòåðîì, ÷òî ïîíèæàåò âîçìîæíîñòü îøèáêè äî íóëÿ. Ïðîãðàììà íà Visual Basic íàìíîãî óïðîùàåò çàäà÷ó. Ñ ïîìîùüþ åäèíîæäû ñîçäàííîé ïðîãðàììû ìîæíî ðåøàòü ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ââîäÿ ìèíèìóì  çíà÷åíèé. Òàêæå ýòà ïðîãðàììà ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà íå òîëüêî âàìè, íî è ïðîñòûìè ïîëüçîâàòåëÿìè.


                                 III.         Ëèòåðàòóðà

1) Ì. Äîäæ, Ê. Êèíàòà, Ê. Ñòèíñîí "Ýôôåêòèâíàÿ ðàáîòà â Microsoft Excel 97", èçäàòåëüñòâî "Ïèòåð"; Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 1998ã.

2) Å.Ê. Îâ÷àðåíêî, Î.Ï. Èëüèíà, Å.Â. Áàëûáåðäèí "Ôèíàíñîâî - ýêîíîìè÷åñêèå ðàñ÷åòû â Excel", Ìîñêâà, 1999 ã.

3) Éîðã Øèá, Excel 7,0: Ñîòíè ïîëåçíûõ ðåöåïòîâ, Äþññåëüäîðô-Êèåâ-Ìîñêâà- Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, 1997 ã.

4) Ñèìîíîâè÷ Ñ.Â. è äð. Èíôîðìàòèêà Áàçîâûé êóðñ: Ó÷åá, äëÿ òåõíè÷åñêèõ âóçîâ. ÑÏÁ: Èçä. «Ïèòåð», 2004.–640ñ

5) Êàëèòêèí Í.Í. è äð. ×èñëåííûå ìåòîäû. Ì.: Íàóêà, 1982

6) Òóð÷àê Ë.È. Îñíîâû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ. Ì.: Íàóêà, 1987

7) Äüÿêîíîâ Â.Ï. Ñèñòåìà MathCAD. Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1993

 





© 2010 Èíòåðíåò Áàçà Ðåôåðàòîâ