: Exel

: Exel

-

ࠠ 

. 2.

 

: EXCEL.

1. 蠠 .

EXCEL.

2. EXCEL.

3. .

 

:

: II

: 80502.65

: 578030493

:

:

-

2007

.

 

EXCEL.

1.

.

EXCEL.

I. .

II.

x1 ; x2 ; x3 ; x4 :

1) EXCEL ;

2) ,

(ߠ ).

:

x

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

y

0.860

0.819

0.779

0.741

0.705

0.670

0.638

0.606

0.577

0.549

x1 = 0.149

x2 = 0.240

x3 = 0.430

x4 = 0.560

.

: EXCEL EXCEL.

, . ().

. interpolation, , .

, ,  x (x0 , xn) . polio, , .

(,

) , (, ). approximo, .

, , . F (x) Pn (x). , Pn (x), .

, .

, 򠠠 , , - ( polys , , ) nomen, .. .

:

yi = yi + 1 - yi , i = 0,1, .... , n 1

.

.

:

Pn (x) = y0 + (x-x0) y0 /1!h + (x-x0)(x-x1) IJy0 /2!h+....+ (x-x0)(x-x1)..(x-xn-1)  ny0 / n!hn

.

I.

, . 2. , x , h = 0,05. () ( ).

Pn(x) = P9(x)= y0 + (x-x0) y0 / 1!h  +  (x-x0) (x-x1) IJy0 /2!h2+..

..+ (x-x0)(x-x1) (x-x2) (x-x3) (x-x4) (x-x5) (x-x6) (x-x7) (x-x8) (x-x9) 9y0 / 9!h9 =

0,860 + (x- 0,15) (-0,041) / 1! 0,05 + (x- 0,15) (x- 0,20) 0,001 / 2!   0,05 2 +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) 0,001 / 3!   0,05 3 +(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)  (-0,001) / 4!   0,05 4 +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0,35)   0 / 5!   0,05 5 +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0.35)(x- 0,40)  0,004 / 6!  0,05 6 +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) (-0,016) / 7! 0,05 +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ( x- 0,50) 0,047 / 8!   0,05 8 +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) (x- 0,50) (x- 0,55) (-0,119) / 9!  0,05 9.


II.

 

1) .

:

EXCEL:

) ( A1 : N4).

) A5 : A14.

) B5 : C14.

.

:

:

) :

.1) D5 y0 = y1 y0, : =C6C5;

a.2) D6 : D13. D6

=C7-C6 (..y1 =y2 - y1 = 0,779 0,819 = -0,040), D7

=C8-C7 (.. y2 = y3 y2 = 0,741 0,779= -0,038) .. D13,

=C14-C13 (.. y8 = y9 y8 = 0,549 0,577= -0,028)

) :

.1) E5 D5. E5

=D6-D5 (.. IJy0 = y1 - y0 = -0,040 - ( -0,041) = 0,001). E6 : E12.

堠 E12 󠠠 =D13 - D1 (.. IJy7 = y8 - y7= - 0,028 - ( -0,029) = 0,001).

) :

( D5),

, .. E5 F5, F5 G5 ..

. 1.

. 2.

:

:

) :

.1) (x-x0/1!h) M5

=($N$2 - B5) / (A5 + 1) / $F$2. N2 x. , ( $). F2 , ( $).

.2)

(x-x0) (x- x1)/2!h = (x-x0)/1h (x-x1)/ 2h = a b,

a M5, a = (x-x0)/1h,

b , M5, b = (x-x1) / 2h,

M6 : =M5*($N$2 B6) / (A6 + 1) / $F$2.

.3) M5 M6,

M6 7 . M7 :

=M6*($N$2 B7) / (A7 + 1) / $F$2 , M8 : =M7*($N$2 B8) / (A8 + 1) / $F$2

..

:

:

) :

.1) , (x-x0) y0 / 1!h = (x-x0) / 1h y0, M5 D5, . N5 =M5*D$5. $ , .. , .. 5;

.2) N5 8 ( N13). N6 =M6*E$5, N7 󠠠 =M7*F$5, N8 󠠠 =M8*G$5 .. N13.

:

:

) :

.1) A16 : M16,

" ;

.2) N16 󠠠 =(N5:N13). N16 , y0. x = 0,149 N16 0,001.

:

:

) :

.1) 蠠 A18 : M18, " ";

.2) N18 󠠠 =N16+C5. N18 0,861 , , x = 0,149

:

x = 0,240; x = 0,430; x = 0,560.

) N2 0,240. :

N16 (-0,073); N18 (0.787);

) N2 0,430. :

N16 (-0,209); N18 (0,651);

) N2 0.560. :

N16 (-0,287); N18 (0,573).

:

.

. 젠 렠 1. 2.

2) , (ߠ ).

 

() .

EXCEL

x0 , x1, , x n f(x0), f(x1), ,f(x n). (), .. f(x n+1), f(x n+2), .

EXCEL : ,

x (x0 , x1 , , x n) y (y0 ,y1 , , y n) .

:

(y , x , x )

y , x .

x -- x, f(x).

:

( x; y ; x )

y ( .

.

㠠 :

EXCEL , .

㠠 :

, C6:F6, .

㠠 :

.

:

)   , ,

OK.

) y C3:L3.

) x C2:L2.

) x ꠠ C5:F5.

㠠 :

SHIFT / CTRL 蠠 ENTER. C6:F6 .

: C6 =(C3:L3;C2:L2;C5)

D6 =(C3:L3;C2:L2;D5)

E6 =(C3:L3;C2:L2;E5)

F6 =(C3:L3;C2:L2;F5)

: C6 0,8610

D6 0,7951

E6 0,6576

F6 0,5635

.

3. 4.

.

㠠 :

EXCEL, .

㠠 :

6.

㠠 :

) ,

.

) x C6.

) y C3:L3.

) x C2:L2.

㠠 :

OK. C6 . , , 蠠 D6, E6, F6.

:

  :

C6 =(C5;C3:L3;C2:L2)

D6 =(D5;C3:L3;C2:L2)

E6 =(E5;C3:L3;C2:L2)

F6 =(F5;C3:L3;C2:L2)

  : C6 0,8506

D6 0,7877

E6 0,6564

F6 0,5665

. 렠 5. 6.

.

:

x 1 = 0,149;

x 2 = 0,240;

x 3 = 0,430;

x 4 = 0,560;

:

1     ,

2    ,

3    ;

,

x

:

 

 

0,149

0,861

0,86*

0,861

0,86*

0,8506

0,85*

 

0,240

0,787

0,79*

0,795

0,80*

0,7877

0,79*

 

0,430

0,651

0,65*

0,658

0,66*

0,6564

0,66*

0,560

0,573

0,57*

0,564

0,56*

0,5665

0,57*

* .

: . . , . , 0,01 , . , , , .


ࠠ 2.

 

EXCEL.

:

1) ;

2) .

0,1 x1 + 4,6 x2 + 7,8 x3 = 9,8

2,8 x1 + 6,1 x2 + 2,8 x3 = 6,7

4,5 x1 + 5,7 x2 + 1,2 x3 = 5,8

: EXCEL .

.

, . , , , , , ().

- ⠠ aik (, ), 砠 m 蠠 n . m = n , .

() detA, .

ij n- n , , .

ij , +, i+j , - , .

- . iteratio , .

 

.

1). .

.

). :

( ):

0,1 4,6 7,8

= 2,8 6,1 2,8

4,5 5,7 1,2

:

x1

X = x2

x3

:

9,8

B = 6,7

5,8

). () .

: det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 ,

a11 , a12 , a13 A,

A11 , A12 , A13 .

- 蠠 detA = 0, ;

- 蠠 detA ≠ 0, .

, .

: Aik = (-1)i+k Mik ,

i - ,

k - ,

M - .

- i+k , Aik = 1 Mik

 

A11 = 6,1 1,2 - 5,7 2,8 = 7,32 - 15,96 = - 8,64

A12 = 2,8 1,2 - 4,5 2,8 = 3,36 - 12,6 = 9,24

A13 = 2,8 5,7 - 4,5 6,1 = 15,96 - 27,45 = -11,49

.

detA = 0,1 (-8,64) + 4,6 9,24 + 7,8 (-11,49) = -0,864 + 42,504 - 89,622 = - 47,982

detA ≠ 0 => .

). -1.

:

A11 A21 A31

A-1 = A12 A22 A32 1/ detA ,

A13 A23 A33

11 , , 33 - .

-1, :

A21 = 4,6 7,8 = 4,6 1,2 - 7,8 5,7 = 5,52 - 44,46 = + 38,94

5,7 1,2

A22 = 0,1 7,8 = 0,1 1,2 - 7,8 4,5 = 0,12 - 35,1 = - 34,98

4,5 1,2

A23 = 0,1 4,6 = 0,1 5,7 - 4,6 4,5 = 0,57 - 20,7 = + 20,13

4,5 5,7

A31 = 4,6 7,8 = 4,6 2,8 - 7,8 6,1 = 12,88 - 47,58 = - 34,7

6,1 2,8

A32 = 0,1 7,8 = 0,1 2,8 - 2,8 7,8 = 0,28 - 21,84 = + 21,56

2,8 2,8

A33 = 0,1 4,6 = 0,1 6.1 - 4,6 2,8 = 0,61 - 12,88 = - 12,24

2,8 6,1

-1, :

1/detA = 1 / - 47,982 = - 0,0208411

- 8,64 38,94 - 34,7 0,1800675 - 0,8115543 0,72318786 A-1 = - 0,0208411 9,24 - 34,98 21,56 = - 0,1925722 0,7290234 0,44933516

- 11,49 20,13 - 12,27 0,2394647 - 0,4195323 0,25572089

, . :

A-1 A = E, E - , .

0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 0,1 4,6 7,8

A-1 A = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 2,8 6,1 2,8

0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 4,5 5,7 1,2

:

11 = 0,1800675 0,1 + (-0,8115543) 2,8 + 0,7231879 4,5 = 1

C12 = 0,1800675 4,6 + (-0,8115543) 6,1 + 0,7231879 5,7 = 0

C13 = 0,1800675 7,8 + (-0,8115543) 2,8 + 0,7231879 1,2 = 0

C21 = (-0,1925722) 0,1 + 0,7290234 2,8 + (-0,4493352) 4,5 = 0

C22 = (-0,1925722) 4,6 + 0,7290234 6,1 + (-0,4493352) 5,7 = 1

C23 = (-0,1925722) 7,8 + 0,7290234 2,8 + (-0,4493352) 1,2 = 0

C31 = 0,2394647 0,1 + (-0,4195323) 2,8 + 0,2557209 4,5 = 0

C32 = 0,2394647 4,6 + (-0,4195323) 6,1 + 0,2557209 5,7 = 0

33 = 0,2394647 7,8 + (-0,4195323) 2,8 + 0,2557209 1,2 = 1

1 0 0

A-1 A = 0 1 0 = E

0 0 1

.

). X ( ).

: X = A-1 B ,

B B ( ).

0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 9,8 0,521737

X = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 6,7 = 0,391105

0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 5,8 1,019069

X , :

x1 = 0,521737

x2 = 0,391105

x3 = 1,019069

). . :

0,1 0,521737 + 4,6 0,391105 + 7,8 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 + 7,9487382 = 9,7999949 = 9,8

2,8 0,521737 + 6,1 0,391105 + 2,8 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 + 2,8533932 = 6,6999742 = 6,7

4,5 0,521737 + 5,7 0,391105 + 1,2 1,019069 = 2,3478165 + 2,229298 + 1,2229152 = 5,8000252 = 5,8

.

1.1). EXCEL.

:

EXCEL :

). ( A1:E10).

:

. , .

). 11:13, .

). , .

). A6:C8.

). , (A11:C13), Ctrl+Shift+Enter.

A11:C13 :

=(6:C8) ;

.

:

:

). E11:E13.

). , .

). 1 A11:C13.

). 2 E6:E8.

). (E11:E13), Ctrl+Shift+Enter.

E11:E13 :

=(11:C13;E6:E8) ;

x1 , x2 , x3 .

. 렠 7. 8.

1.2). , .

 

:

EXCEL

x1

0,521737

0,521737318

x2

0,391105

0,391104998

x3

1,019069

1,019069651

1.3). .

. EXCEL , .

.

, . , . - , .

, , EXCEL .

2) .

 

, , , x1 , x2 , x3 . 1- .

:

0,1x1 + 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8

2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7

4,5x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8

a) , . :

4,5x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8

2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7

0,1x1 + 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8

) , , .

4,5x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8

x1 = - 5,7x2 / 4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 5,8 / 4,5

2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7

x2 = - 2,8x1 / 6,1 - 2,8x3 / 6,1 + 6,7 / 6,1

0,1x1 + 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8

x3 = - 0,1x1 / 7,8 - 4,6x2 / 7,8 + 9,8 / 9,7

:

x1 = - 5,7x2 / 4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 5,8 / 4,5

x2 = - 2,8x1 / 6,1 - 2,8x3 / 6,1 + 6,7 / 6,1

x3 = - 0,1x1 / 7,8 - 4,6x2 / 7,8 + 9,8 / 9,7

) .

. ( x1 , x2 , x3 ).

) ( ).

( ║C║), .. , [ C ]. , [ ] , ..

║C║=√Σaaj2 <1

:

x1 = - 5,7x2 / 4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 5,8 / 4,5

x2 = - 2,8x1 / 6,1 - 2,8x3 / 6,1 + 6,7 / 6,1

x3 = - 0,1x1 / 7,8 - 4,6x2 / 7,8 + 9,8 / 7,8

x1 = 0 - 5,7x2 / 4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 1,288889

x2 = 2,8x1 / 7,8 - 0 - 2,8x3 / 6,1 + 1,0983607

x3 = 0,1x1 / 7,8 - 4,6x2 / 7,8 - 0 + 1,2564103

:

0 - 5,7 / 4,5 - 1,2 / 4,5

[C] = - 2,8 / 6,1 0 - 2,8 / 6,1

- 0,1 / 7,8 - 4,6 / 7,8 0

║C║ = √ aij2 < 1

║C║ = √ (-5,7 / 4,5)2 + (-1,2 / 4,5)2 + (-2,8 / 6,1 )2 + (-2,8 / 6,1)2 + (-0,1 / 7,8)2 + (-4,6 / 7,8)2

║C║= √ (-1,2666667)2 +(-0,2666667)2 +(-0,4590164)2 +(-0,4590164)2 +(-0,0128205)2 +(-0,5897436)2

║C║= √ (1,6044445) + (0,0711111) + (0,2106961) + (0,2136961) + (0,0001691) + (0,3477975)

║C║ =√ 2,4449144

║C║ = 1,5636222 > 1

, .

 

: , .


3.

 

堠 .

, .

z1 = 3e -(/4) i

z2 = (/4) i

1). ;

2). z1 + z2 z1 z2 , ;

3). .

.

z = x + iy ,

x y ,

i , i2 = -1.

, , .

 

.

1). .

z x , y , 蠠 r , . ,

z = r cos + i r sin = r ( cos  + i sin  ),

cos  + sin  = ei =>  = /4

r , - .

1.1) z1 = 3  (cos /4   i sin /4) = 3√2/2  i 3√2/2

1.2) z2 = r  ei = r (cos /4 +  i sin /4) = √2/2 + i √2/2 

2). :

2.1) .

z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 ,

z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i (y1 + y2)

z1 + z2 = (3√2/2 + √2/2) + i (3√2/2 + √2/2) = 4√2/2  i 2√2/2= = 2√2 - i√2

2.2) .

z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 ,

z1 z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2) = (x1x2  y1y2) + i (x1y2 + x2y1)

z1z2 =(3√2/2 √2/2 + 3√2/2  √2/2)+ i(3√2/2  √2/2 - √2/2  3√2/2 )=

= 3 2/4 + 3 2/4 + i 0 = 3

3). .

x y .

x1 = 3√2/2 = 2,1 y1 = - 3√2/2 = -2,1

x2 = √2/2 = 0,7 y2 = √2/2 = 0,7

x3 = 2√2 = 2,8 y3 = -√2 = -1,4

x4 = 3 y4 = 0

y

0,7 Z2

0,7 2,1 2,8

0 Z4

3 x

- 1,4 Z3

- 2,1 Z1

Z1 Z2

Z1 + Z2 = Z3

Z1 Z2 = Z4





2010