Контрольная работа: Исследование операций

Контрольная работа: Исследование операций

Министерство образования и науки Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра системы управления

Курсовая работа

по дисциплине: исследование операций

Вариант 9

_

Челябинск

2004 г.
Содержание

Задание 1                                                                                            3

Задание 2                                                                                            6

Задание 3                                                                                            9

Задание 4                                                                                  11

Литература                                                                               17

Задание 1

Задача 9

Условие:

Из трех видов сырья необходимо составить смесь, в состав которой должно входить не менее  a ед. химического вещества А, b ед. – вещества В и c ед. – вещества С. Количество единиц химического вещества, содержащегося в 1 кг. сырья каждого вида, указано в таблице. Там же приведена цена 1 кг. сырья каждого вида. Составить смесь, содержащую не менее нужного количества веществ данного вида и имеющую минимальную стоимость.

Решение:

Составим математическую модель задачи.

Обозначим через n1, n2, n3 количество кг сырья 1, 2, 3 соответственно.

Тогда, целевая функция будет

L=D1n1+ D2n2+D3n3 = 5n1+ 6n2+7n3 →min

Система ограничений:

_ EMBED Equation.3  ___

Приведем систему ограничений к  виду основной задачи линейного программирования. Введем целевую функцию с противоположным знаком L', и новые переменные  n4, n5, n6, которые входят в целевую функцию с нулевыми коэффициентами.

L’=0-(5n1+ 6n2+7n3) →max

_ EMBED Equation.3  ___

Выберем n1, n2, n3 свободными переменными, а  n4, n5, n6 – базисными и приведем к стандартному виду для решения с помощью симплекс-таблицы:

L’=0-(5n1+ 6n2+7n3)

_ EMBED Equation.3  ___

Составим симплекс-таблицу.

Это решение не опорное, т.к. свободные члены не положительны.

Выберем в первой строке отрицательный элемент, например на пересечении n1 и n4, тогда разрешающий столбец n1, а разрешающий элемент – n5 (минимальный по отношению свободного члена к элементам разрешающего столбца).

Таблица 1.1

Меняем n1 и n5.

Таблица 1.2

Меняем n5 и n6.

Таблица 1.3

Меняем n4 и n6.

Таблица 1.4

Т.к. коэффициенты при всех ni положительны, то это и есть оптимальное решение.

Тогда n4 = n2 = n3 =0, n6 =2, n1 =26, n5 =22, L’= -130, следовательно, L=130.

Необходимо взять 26 кг первого сырья, и тогда получим смесь, содержащую не менее нужного количества веществ данного вида и имеющую минимальную стоимость 130.

Ответ: для получения смеси с минимальными затратами необходимо взять 26 кг только первого сырья.

Задание 2

Задача 29

Условие:

Решение задачи линейного программирования.

С помощью симплекс–таблиц найти решение задачи линейного программирования: определить экстремальное значение целевой функции Q=CTx  при условии Ax ( (B,

где (( = ( (1  (2  . . .  (6 (( ,                В( = ( b1 b2  . . . b6 (( ,

(( = ( (1  (2  . . .   (6(( ,               А= (((((     ((=1,6;  (=1,3).

Решение:

Составим систему:

_ EMBED Equation.3  ___

Целевая функция Q= 0x1+5x2+x3 –x4+x5 →max

Приведем систему ограничений к виду основной задачи линейного программирования.

_ EMBED Equation.3  ___

Пусть х1, х2 , х3, х4, х5 свободные переменные, х6, х7, х8 – базисные.

Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:

Q= 0-(-5x2-x3 +x4- x5)

_ EMBED Equation.3  ___

Составим симплекс-таблицу:

Это опорное решение т.к. коэффициенты bj>0. Будем искать оптимальное решение. Т.к. коэффициенты при свободных членах <0 (кроме при x1), то разрешающим может быть любой столбец. Пусть x2, тогда на пересечении x2 и x6 получим разрешающий элемент.

Таблица 2.1

Меняем x2 и x6.

Таблица 2.2

Меняем x5 и x8.

Таблица 2.3

Меняем x5 и x1.

Таблица 2.4

Получили оптимальное решение, т.к. все коэффициенты положительны.

Следовательно Q=35; x5=x6= x3=x4=x8=0;  x1=8/3;  x2=14/3;  x7=26/3.

Ответ: Q=35; x5=x6= x3=x4=x8=0;  x1=8/3;  x2=14/3;  x7=26/3.

Задание 3

Задача 9

Условие:

Решение транспортной задачи:

1. Записать условия задачи в матричной форме.

2. Определить опорный план задачи.

3. Определить оптимальный план задачи.

4. Проверить решение задачи методом потенциалов.

Таблица  1

Решение:

Составим таблицу транспортной задачи.

Таблица 2

Заметим, что сумма запасов превышает заявки. Это транспортная задача с избытком запасов. Для того чтобы привести к транспортной задаче с правильным балансом, введем фиктивный пункт назначения В5 с нулевыми перевозками. Добавим недостающее число заявок b5=700. Теперь количество заявок равно количеству запасов и равно 2000.

Заполним таблицу. Для этого не будем использовать метод северо-западного угла, т.к. он принесет много хлопот, будем заполнять клетки слева направо от заявок к запасам, исходя из наименьшей цены.

Таблица 3

Это будет опорный план.

Количество заполненных ячеек – 6. r=m+n-1=3+6-1=8>6, значит, план является вырожденным, т.к. не хватает 2 базисных клеток. Добавим их, и сделаем план невырожденным. Для этого изменим в некоторых клетках количество запасов и заявок на малую величину _ EMBED Equation.3  ___

Таблица 4

Проверим методом потенциалов:

Примем α1=0, тогда βj = cij αi (для заполненных клеток).

Если решение верное, то во всех пустых клетках таблицы Δij = cij – (αi+ βj) ≥ 0

Очевидно, что Δij =0 для заполненных клеток.

В результате получим следующую таблицу:

Таблица  5

Таким образом, решение верное, т.к. Δij > 0 для всех пустых клеток и Δij =0 для всех заполненных.

Тогда сумма всех перевозок:

L=200*15+10*21+200*20+300*12+300*25+200*18+200*0+500*0=23800

Ответ:

Задание 4

Задача 54

Условие:

Определить экстремум целевой функции вида

( = (11(12+(22(22+(12(1(2+(1(1+(2(2

при условиях:

       (11(1+(12(2<=>(1

          (21(1+(22(2<=>(2 .

Найти стационарную точку целевой функции и исследовать ее (функцию) на выпуклость (вогнутость) в окрестностях стационарной точки.

Составить функцию Лагранжа.

Получить систему неравенств в соответствии с теоремой Куна-Таккера.

Используя метод искусственных переменных составить симплекс-таблицу и найти решение полученной задачи линейного программирования.

1.         Дать ответ с учетом условий дополняющей нежесткости.

2.        

Решение:

1) Целевая функция: F=4x12-2x22 +1,5x1x2-7x1-2x2→min

Рассмотрим F’=-4x12+2x22 -1,5x1x2+7x1+2x2→max

Ограничения g1(x) и g2(x):  _ EMBED Equation.3  ___ →_ EMBED Equation.3  ___

Определим относительный максимум функции F’, для этого определим стационарную точку (х10, х20):

_ EMBED Equation.3  ___→ _ EMBED Equation.3  ___→ _ EMBED Equation.3  ___

2) Исследуем стационарную точку на максимум, для чего определяем выпуклость или вогнутость функции:

F’11 (х10, х20) = -8 < 0

F’12 (х10, х20) = -1,5

F’21 (х10, х20) = -1,5

F’22 (х10, х20) = 4

_ EMBED Equation.3  ___

Т.к. условие выполняется, то целевая функция является строго выпуклой в окрестности стационарной точки

3) Составляем функцию Лагранжа:

L(x,u)=F’(x)+u1g1(x)+u2g2(x)=

=-4x12+2x22 -1,5x1x2+7x1+2x2+u1(_ EMBED Equation.3  ___)+u2(_ EMBED Equation.3  ___)

Получим уравнения седловой точки, применяя теорему Куна-Таккера:

_ EMBED Equation.3  ___             i=1;2

Объединим неравенства в систему А, а равенства в систему В:

Система А: 

_ EMBED Equation.3  ___

Система В:

_ EMBED Equation.3  ___

Перепишем систему А:

_ EMBED Equation.3  ___

4)Введем новые переменные

V={v1,v2}≥0;  W={w1,w2}≥0

в систему А для того, чтобы неравенства превратить в равенства:

_ EMBED Equation.3  ___   

Тогда

_ EMBED Equation.3  ___.  

Значит , система В примет вид:

_ EMBED Equation.3  ___    - это условия дополняющей нежесткости.

5) Решим систему А с помощью метода искусственных переменных.

Введем переменные Y={y1; y2} в 1 и 2 уравнения системы

_ EMBED Equation.3  ___

Затем создадим псевдоцелевую функцию Y=My1+My2→min

Y’=-Y= -My1-My2→max.

Пусть свободные переменные: х1, х2, v1, v2, u1, u2;

а базисные y1, y2, w1, w2.

Приведем систему и целевую функцию к стандартному виду, для построения симплекс-таблицы:

_ EMBED Equation.3  ___

_ EMBED Equation.3  ___

Решим с помощью симплекс-таблицы. Найдем опорное решение:

Т. о,  u2=x2=y1=y2=v1=v2=0; x1=0,967; u1=0,367; w1=19,93; w2=12,87;

б) Условия дополняющей нежесткости выполняются  (u2w2=0), значит решения исходной задачи квадратичного программирования существует.

ОТВЕТ: существует.

Литература

Курс лекций Плотникова Н. В.