![]() |
||
Главная Рефераты по сексологии Рефераты по информатике программированию Рефераты по биологии Рефераты по экономике Рефераты по москвоведению Рефераты по экологии Краткое содержание произведений Рефераты по физкультуре и спорту Топики по английскому языку Рефераты по математике Рефераты по музыке Остальные рефераты Рефераты по авиации и космонавтике Рефераты по административному праву Рефераты по безопасности жизнедеятельности Рефераты по арбитражному процессу Рефераты по архитектуре Рефераты по астрономии Рефераты по банковскому делу Рефераты по биржевому делу Рефераты по ботанике и сельскому хозяйству Рефераты по бухгалтерскому учету и аудиту Рефераты по валютным отношениям Рефераты по ветеринарии Рефераты для военной кафедры Рефераты по географии Рефераты по геодезии Рефераты по геологии Рефераты по геополитике Рефераты по государству и праву Рефераты по гражданскому праву и процессу Рефераты по делопроизводству Рефераты по кредитованию Рефераты по естествознанию Рефераты по истории техники Рефераты по журналистике Рефераты по зоологии Рефераты по инвестициям Рефераты по информатике Исторические личности Рефераты по кибернетике Рефераты по коммуникации и связи |
Курсовая работа: Иррациональные уравненияКурсовая работа: Иррациональные уравненияКурсовая работа Иррациональные уравнения Содержание: Введение 1. Основные определения и теоремы 2. Стандартные иррациональные уравнения и методы их решения 2.1 Уравнения вида 2.2. Уравнения вида 2.3 Иррациональные уравнения, которые решаются введением новой переменной 2.4 Уравнения вида 3. Нестандартные методы решения иррациональных уравнений 3.1 Применение основных свойств функции 3.1.1 Использование области определения уравнения 3.1.2 Использование области значений функции 3.1.3 Использование монотонности функции 3.1.4 Использование ограниченности функции 3.2 Применение производной 3.2.1 Использование монотонности функции 3.2.2 Использование наибольшего и наименьшего значений функций 4. Смешанные иррациональные уравнения и методы их решения 4.1 Иррациональные уравнения, содержащие двойную иррациональность 4.2 Иррациональные показательные уравнения 4.3 Иррациональные логарифмические уравнения Заключение Литература Введение Тема моей курсовой работы − «иррациональные уравнения». Я выбрала её потому, что в учебном курсе, этому материалу посвящено мало часов, а в задачниках большое количество примеров посвящено именно этой теме. Поэтому в изучении «иррациональных уравнений» я преследую цель - дать основные определение иррациональным уравнениям и теоремам. Определить какие бывают виды уравнений. Рассмотреть правила решения иррациональных уравнений. Задачи моей работы изучить научную и методическую литературу, подобрать и рассмотреть задачи для данной темы, включая олимпиадные. В моей курсовой работе показаны решения иррациональных уравнений как стандартного метода, так и не стандартного метода решения. Я старалась как можно доступнее охватить проблемы этой темы. Конечно, всё нельзя учесть в курсовой работе, но я постараюсь ниже изложить основные моменты. Я хотела бы сделать данную работу вспомогательным пособием при изучении темы «Иррациональные уравнения». 1. Основные определения и теоремы Определение 1. Уравнение это два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входит одна или несколько переменных, называемых неизвестными. Пример 1. Пример 2. Определение 2. Равенство
вида Пример 1. Далее рассматриваем уравнения с одной переменной. Определение 3. Всякое
значение переменной, при котором выражения Пример 1. Уравнение Определение 4. Решить уравнение – значит, найти множество всех его решений или доказать, что их нет. Пример 1. Уравнение О т в е т: {4}. Пример 2. Уравнение О т в е т: Пример 3. Уравнение О т в е т: Определение 5. Тождество (тождественное равенство) - это равенство двух выражений с переменными, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Тождествами считаются и верные числовые равенства, а также равенства, превращающиеся в верное числовое равенство для всех числовых значений букв, для которых эти выражения определены. Пример 1. Равенство Пример 2. Равенство 2=2 тождество. Определение 6. Тождественное преобразование выражения – это замена выражения на тождественно равное ему выражение, т. е. равное для всех числовых значений входящих в него переменных. К тождественным преобразованиям относятся, например, приведение подобных слагаемых; разложение на множители; приведение алгебраических дробей к общему знаменателю; разложение их на элементарные дроби и другие. Определение 7. Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Пример 1. Пример 2. Определение 8. Областью
определения уравнения (или областью допустимых значений переменной - ОДЗ) Пример 1. Пример 2. Значит, ОДЗ: Пример 3. Определение 9. Пусть даны
уравнения: Если каждый корень
уравнения (1) является одновременно корнем уравнения (2), то уравнение (2)
называется следствием уравнения (1). Следствие обозначается следующим образом: Пример 1. В процессе решения уравнения часто приходится применять такие преобразования, которые приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. Уравнению-следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но, кроме них, уравнение-следствие может иметь и такие решение, которые не являются корнями исходного уравнения, так называемые, «посторонние» корни. Чтобы выявить и отсеять «посторонние» корни, обычно поступают так: все найденные корни уравнения-следствия проверяют подстановкой в исходное уравнение. Рассмотрим примеры преобразований, которые могут привести к расширению ОДЗ, т.е. к появлению «посторонних» корней. 1.
Замена уравнения Если при некотором
значении Пример 1. Решить уравнение Решение. Проверка. При О т в е т: 2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат. Пусть даны два уравнения В то же время из равенства квадратов чисел не следует равенство этих чисел (числа могут быть противоположенными). Поэтому из уравнения (2) не следует уравнение (1). Отсюда вытекает, что если при решении уравнения использовалось возведение обеих частей уравнения в квадрат, то нужно повести дополнительное исследование, позволяющее исключить «посторонние» корни, если они появились. Пример 1. Решить уравнение Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат.
Проверка. Если Если Следовательно, уравнение имеет единственный корень: 4. О т в е т: {4}. 3. Выполнение в одной части (или в обеих частях) уравнения тождественных преобразований, приводящих к расширению области определения равнения. Если некоторое тождественное преобразование привело к расширению области определения уравнения, то получаем уравнения - следствие. При этом могут существовать такие значения переменной, которые являются корнями исходного уравнения. Пример 1. Решить уравнение Решение. Выполнив
приведение подобных слагаемых, получим: Проверка. Если Если Следовательно, уравнение имеет единственный корень:5. О т в е т: {5}. Пример 2. Решить уравнение Решение. Проверка. Если Если Следовательно, уравнение имеет единственный корень:-2. О т в е т: {-2}. Если при решении уравнения мы заменили его уравнением - следствием, то указанная выше проверка является неотъемлемой частью решения уравнения. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в следствие. Рассмотрим уравнение Значит, уравнение (4)
есть следствие уравнения (3). Ясно, что уравнения (3) и (4) равносильны, если
«постороннее» уравнение Теорема 1. Если обе части
уравнения умножить на Пример 1. Заметим, что подобное
преобразование, т.е. переход от уравнения (4) к уравнению (3) делением обеих
частей уравнения (4) на выражение Пример 2. Уравнение Деление обеих частей
уравнения на Снова возьмем уравнение
(3) и возведем обе его части в квадрат. Получим уравнение: Пример 3. Уравнение Теорема 2. При возведении обеих частей уравнения в квадрат (и вообще в любую четную степень) получается уравнение, являющееся следствием исходного. Пример 1. При решении иррационального уравнения чаще всего стараются заменить его более простым, но равносильным исходному. Поэтому важно знать равносильные преобразования. Определение 10.
Уравнение, имеющее одни и те же корни, называют равносильными уравнениями.
Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными. Другими словами два
уравнения называют равносильными, если множества их решений совпадают.
Равносильность обозначается следующим образом: Пример 1. Уравнения Пример 2. Уравнения Пример 3. Уравнения Определение 11. Пусть
даны уравнения Пример 1. Отметим, что часто
множество М совпадает либо с ОДЗ уравнения Имеется ряд теорем о равносильности уравнений. Теорема 3. При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному. Пример 1. Теорема 4. Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное исходному. Пример 1. Теорема 5. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от ноля число, то получится уравнение, равносильное исходному. Пример 1. Теорема 6. Если в какой либо части уравнения выполнить тождественные преобразования, не меняющие области определения уравнения, то получится уравнение, равносильное исходному. В школьной практике при решении иррациональных уравнений чаще всего используются два основных метода: 1) обеих частей уравнения в одну и ту же степень; 2) введение новых (вспомогательных) переменных. Эти методы будем считать стандартными. В обязательном школьном курсе обычно этими методами и ограничиваются. Однако иногда приходится применять нестандартные методы и искусственные приемы решения иррациональных уравнений. Типичная ошибка при решении иррациональных уравнений состоит в том, что школьники без дополнительных пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность, что приводит к потере корней и появлению «посторонних» корней. При возведении обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень надо иметь в виду, что если степень - не четное число, то получим равносильное уравнение, если же степень - четное число, то получим уравнение - следствие. Поэтому при решении иррациональных уравнений в большинстве случаев необходима проверка найденных решений. Проверки можно избежать, если решать иррациональные уравнения с помощью равносильных замен. Для этого полезно знать следующие теоремы. Теорема 7. Уравнение вида
Уравнение вида Теорема 8. Уравнение вида
Уравнение вида Далее рассмотрим более подробно типы иррациональных уравнений и методы их решения. 2. Стандартные иррациональные уравнения Как правило, в школьном курсе рассмотрение иррациональных уравнений сводится к разбору нескольких несложных примеров. Они в большинстве случаев решаются возведением в квадрат левой и правой частей уравнения. После решения обязательно выполняется проверка. Не обращается внимание на то, что иррациональные уравнения могут решаться и с использованием понятия равносильности. В данном параграфе представлены различные виды иррациональных уравнений, которые можно отнести к стандартным и решать одним из следующих методов, а именно: 1) метод перехода к уравнению - следствию с последующей проверкой полученных корней; 2) метод равносильного перехода к уравнению или к смешанной системе; 3) метод введения новой переменной. 2.1 Уравнения вида Пример 1. Решить уравнение Решение. Возведем обе
части исходного уравнения в квадрат. О т в е т: {6}. Пример 2. Решить уравнение Решение. В левой части исходного уравнения стоит арифметический квадратный корень – он по определению неотрицателен, а в правой части – отрицательное число. Следовательно, уравнение не имеет корней. О т в е т: Запишем равносильность, с помощью которой решаются уравнения данного вида.
Пример 3. Решить уравнение Решение. Возведем обе части исходного уравнения в куб.
О т в е т: {-5}. Запишем равносильность, с
помощью которой решаются уравнения данного вида: 2.2 Уравнения вида Довольно часто при решении уравнений данного вида учащиеся используют следующую формулировку свойства произведения «Произведение двух сомножителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю». Заметим, что формулировку свойства произведения должна выглядеть следующим образом: « произведение двух сомножителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл». Запишем равносильность, с помощью которой решаются уравнения данного вида: Пример 1. Решить уравнение Решение.
О т в е т: {-2;6}. Пример 2. Решить уравнение Решение. В данном случае
уравнение не имеет вида, указанного в заголовке. Следовательно, его необходимо
преобразовать. Но сначала найдем ОДЗ переменной
Преобразуем уравнение к
виду При решении уравнения
учащиеся часто необоснованно делят обе части уравнения на выражение, содержащее
неизвестное (в данном случае, на Решим каждое уравнение из совокупности.
Учитывая, что ОДЗ:
Следовательно,
совокупность примет следующий вид: Вернемся к системе: О т в е т: {-3;6}. 2.3 Иррациональные уравнения, которые решаются введением новой переменной При решении различных видов уравнений: рациональных, тригонометрических, показательных часто используется метод введения новой переменной. Новая переменная в уравнениях иногда действительно очевидна, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявить только лишь в процессе каких либо преобразований. Бывает полезно ввести не одну, а две переменные. Видим типичные случаи введения новых переменных в иррациональных уравнениях. Пример 1. Решить уравнение Решение. Введем новую
переменную. Пусть Выполним обратную замену.
О т в е т:{34}. Пример 2. Решить уравнение Решение. Уединение
радикала и возведение в степень обеих частей уравнения привело бы к громоздкому
уравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, то можно
заметить, что данное уравнение сводиться к квадратному. Действительно, умножим
обе части заданного уравнения на 2, получим, что Введем новую переменную.
Пусть Выполним обратную замену.
Т.к. исходное уравнение
равносильно уравнению О т в е т: {-2;3,5}. Пример 3. Решить уравнение Решение. Преобразуем
данное уравнение. Введем новую переменную.
Пусть, Выполним обратную замену.
О т в е т:{1}. 2.4 Уравнения вида Данные уравнения можно решить при помощи основного метода решения иррациональных уравнений (возведение в квадрат обеих частей уравнения), но иногда их можно решить и другими методами. Рассмотрим уравнение Используя, что Таким образом, уравнение
(3) является следствием уравнения (1). Складывая эти два уравнения и умножая
полученное уравнение на а, получим уравнение Замечание. Отметим, что
точно также доказывается, что уравнение (4) есть следствие уравнения Пример 1. Решить уравнение Решение. Разность
подкоренных выражений
то уравнение Проверкой убеждаемся, что оба этих числа являются корнями исходного уравнения. О т в е т: Замечание. Уравнение вида
Пример 2. Решить уравнение Решение. Т.к. О т в е т: Замечание. Также
уравнения вида Пример 3. Решить уравнение Решение. Найдем ОДЗ переменной х. ОДЗ: На ОДЗ обе части
уравнения положительны, поэтому после возведения в квадрат получим уравнение: Иногда решения уравнения можно найти, решая его на разных числовых промежутках. Для любого Для О т в е т: Пример 4. Решить уравнение Решение. Преобразуем
исходное уравнение. Возведем обе части данного уравнения в квадрат. Проверка показывает, что 5 является корнем исходного уравнения. Замечание. Иногда
значительно проще можно решать уравнения вида Значит, исходное
уравнение, если имеет корень, то только один. В этом случае, учитывая, что О т в е т:{5}. Пример 5. Решить уравнение Решение. Если обе части исходного уравнения возвести в квадрат, то получится довольно сложное уравнение. Поступим по-другому: преобразуем уравнение к виду: Решим неравенство системы. Решением системы является множество:
Решим уравнение системы. Убеждаемся, что 2 принадлежит множеству решений неравенства (рис.1). Замечание. Если решать
данное уравнение возведением обеих частей в квадрат, то необходимо выполнить
проверку. 2 - целое число, поэтому при выполнении проверки трудностей не
возникает. А что касается значения О т в е т:{2}. Пример 6. Решить уравнение Решение. Найдем ОДЗ переменной х. ОДЗ: Следовательно, Для любых значений Пусть Введем новую переменную. Выполним обратную замену.
Тогда О т в е т: Пример 7. Решить уравнение Решение. Найдем ОДЗ переменной х. ОДЗ: Следовательно, что Легко видеть, что Разделим обе части
уравнения на Преобразуем О т в е т: Пример 8. Решить уравнение Решение. Преобразуем исходное
уравнение. Возведем обе части полученного уравнения в квадрат.
Тогда Итак, проверка показывает, что -1,2 - не является корнем исходного уравнения, а 3 - является. Замечание. Данное уравнение можно решать и с помощью равносильных переходов, но тогда его решении будет намного сложнее, чем приведенное выше. О т в е т: {3}. Пример 9. Решить уравнение Решение. Заметим, что все
квадратные трехчлены положительны относительно Обозначим для краткости
подкоренные выражения через Вернемся к уравнению. Второе уравнение
совокупности решений не имеет, поскольку оба знаменателя положительны.
Следовательно, Замечание. Также решение данного уравнения можно найти, исследуя его на разных числовых промежутках. Сначала выделим Следовательно, исходное уравнение имеет вид: Обозначим для краткости
подкоренные выражения через Если Следовательно, при Если Следовательно, при Если Следовательно, -1 является единственным корнем исходного уравнения. О т в е т:{-1}. Замечание. Следовательно, при решении уравнений с радикалами надо уметь пользоваться любым из этих методов и выбирать в каждом случае оптимальный. 3. Не стандартные методы решения иррациональных уравнений Существуют иррациональные уравнения, которые считаются для школьников обычных образовательных школ задачами повышенной трудности. Для решения таких уравнений лучше применять не традиционные методы, а приемы, которые не совсем привычны для учащихся. В этой главе приводятся решения уравнений основанных на графических соображений, свойствах функции (таких, как монотонность, ограниченность, четность), применении производной и т.д. 3.1 Применение основных свойств функции 3.1.1 Использование области определения уравнения Иногда знание области определения уравнения позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из нее. Пример 1. Решить уравнение
ОДЗ: Следовательно, данная система решений не имеет. Т.к. система решений не имеет, то и данное уравнение не имеет корней. О т в е т: Пример 2. Решить уравнение Решение. Найдем ОДЗ переменной х. ОДЗ: Следовательно, Таким образом, решения данного уравнения могут находиться среди найденных двух чисел. Проверкой убеждаемся, что только 2 является корнем исходного уравнения. О т в е т: {2}. 3.1.2 Использование области значений уравнений Пример 1. Решить уравнение Решение. Т.к. О т в е т: Пример 2. Решить уравнение Решение. Т.к.
Следовательно, левая
часть уравнения принимает неотрицательное значение только при Проверка показывает, что 5 является корнем исходного уравнения. О т в е т: {5}. 3.1.3 Использование монотонности функции Решение уравнений и неравенств с использованием свойств монотонности основывается на следующих утверждениях. 1. Пусть f(x) - непрерывная и строго монотонная функция на промежутке Q, тогда уравнение f(x)=c, где c - данная константа может иметь не более одного решения на промежутке Q. 2. Пусть f(x) и g(x) - непрерывные на промежутке Q функции, f(x) - строго возрастает, а g(x)- строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение f(x)= g(x) может иметь не более одного решения на промежутке Q. Отметим, что в каждом из
случаев промежутки Q могут иметь один
из видов: Пример 1. Решим уравнение Решение. Найдем ОДЗ переменной х. ОДЗ: Следовательно, На ОДЗ функции О т в е т: {2}. 3.1.4 Использование ограниченности функции Если при решении
уравнения Пример 1. Решить уравнение Решение. Функции, стоящие
в разных частях уравнения, определены на
Решим второе уравнение системы:
Тогда Проверка показывает, что 0 является корнем данного уравнения, а -1-не является. О т в е т:{0}. Пример 2. Решить уравнение Решение. Оценим подкоренные выражения. Следовательно, Т.к. первое слагаемое
левой части исходного уравнения ограничено снизу единицей, а второе
слагаемое-3, то их сумма ограничена снизу 4. Тогда левая часть уравнения
становится равной правой части уравнения при О т в е т:{2}. 3.2 Применение производной В вышеприведенных уравнениях были рассмотрены применения некоторых свойств функции, входящих в уравнение. Например, свойства монотонности, ограниченности, существования наибольшего и наименьшего значений и т.д. Иногда вопрос о монотонности, об ограниченности и, в особенности, о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции элементарными методами требует трудоемких и тонких исследований, однако он существенно упрощается при применении производной. (Например, не всегда можно догадаться, как и какое неравенство применить из «классических»). Рассмотрим применение производной при решении уравнений. 3.2.1 Использование монотонности функции В дальнейшем мы будем пользоваться следующими утверждениями: 1) если функция f(x) имеет положительную производную на промежутке М, 2) если функция 3) если функция Пример 1. Решить уравнение Решение. Рассмотрим
функцию
На этом промежутке Эта производная
положительна внутри промежутка О т в е т: 3.2.2 Использование наибольшего и наименьшего значений функции Справедливы следующие утверждения: 1)
наибольшее
(наименьшее) значение непрерывной функции, принимаемое на интервале 2)
чтобы найти
наибольшее и наименьшее значение непрерывной на отрезке 3)
если в
критической точке Пример 1. Решить уравнение Решение. Найдем ОДЗ переменной x. ОДЗ: Рассмотрим непрерывную
функцию Функция f(x) на интервале (2;4) имеет производную: Т.к. функция f(x)непрерывна на отрезке [2;4], то ее наибольшее и наименьшее
значения находятся среди чисел f(3);f(2);f(4). Т.к. f(3)=2;f(2)=f(4)= Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень: 3. О т в е т:{3}. 4. Смешанные иррациональные уравнения и методы их решения 4.1 Иррациональные уравнения, содержащие двойную иррациональность Пример 1. Решить уравнение Решение. Возведем обе части уравнения в куб.
Введем новую переменную.
Пусть Выполним обратную замену.
Тогда Проверка показывает, что О т в е т: {1}. Пример 2. Решить уравнение Решение. Введем новую переменную.
Пусть Тогда система примет следующий вид: О т в е т: Пример 3. Решить уравнение Решение. Введем новую
переменную. Пусть
Т.к. Получаем, что Выполним обратную замену.
О т в е т: [-4;0]. Пример 4. Решить уравнение Решение. Преобразуем подкоренные выражения. Вернемся к исходному уравнению. Последнее уравнение решим методом интервалов. 1.
Пусть
Т.к. 2.
Пусть 3.
Пусть Замечание. Данное
уравнение можно решать, выполнив замену переменной О т в е т: [0;3]. Замечание. Выражение вида
Если подкоренное
выражение представляет собой полный квадрат, то можно в двойном радикале
освободиться от внешнего радикала, воспользовавшись равенством Преобразование двойных радикалов. Упражнение 1. Освободиться от внешнего радикала в
выражении Решение. Слагаемое Получаем, что О т в е т: 4.2. Иррациональные показательные уравнения Пример 1. Решить уравнение Решение. О т в е т: Пример 2. Решить уравнение Решение.
- Решений нет, т.к. О т в е т: Пример 3. Решить уравнение Решение.
О т в е т: Приме 4. Решить уравнение Решение.
Введем новую переменную.
Пусть Выполним обратную замену.
- решений нет.
О т в е т:{3}. Пример 5. Решить уравнение Решение. Множество М
общая часть (пересечение) областей существования функций На множестве М функции Решим уравнения совокупности.
Получаем, что исходное уравнение равносильно системе: О т в е т: Замечание. В задачах
повышенной сложности встречаются уравнения вида Пример 6. Решить уравнение Решение. Преобразуем
выражение Тогда исходное уравнение
примет вид: Замечание. Можно
заметить, что Выполним обратную замену.
Тогда
Тогда О т в е т :{-2;2}. 4.3 Иррациональные логарифмические уравнения Пример 1. Решить уравнения Решение. Учитывая, что О т в е т:{32,75}. Пример 2. Решить уравнения Решение. Вернемся к исходному уравнению.
Введем новую переменную.
Пусть
Решим уравнение системы.
Тогда Вернемся к системе: Выполним обратную замену:
Проверка показывает, что 1 является корнем исходного уравнения. О т в е т: {1}. Пример 3. решить уравнение Решение. Найдем ОДЗ переменной х. ОДЗ:
На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению
Введем новую переменную.
Пусть
О т в е т: {3;81}. Заключение Данная курсовая работа помогла мне научиться решать иррациональные уравнения следующих типов: стандартные, нестандартные, показательные, логарифмические, повышенного уровня. Применять основные свойства функции, область определения, область значения функции. Использовать наибольшее и наименьшее значения функции. Применение производной. Я считаю, что цели которые поставлены перед выполнением курсовой работы выполнены. Литература О.В. Харькова «Иррациональные уравнения». А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа». Е.Д. Куланин, В.П. Норин «3000 конкурсных задач по математике». В.А. Гусев, А.Г. Мордкович «Справочные материалы по математике». М.И. Сканави «Сборник задач по математике». |
|