реферат
Главная

Рефераты по сексологии

Рефераты по информатике программированию

Рефераты по биологии

Рефераты по экономике

Рефераты по москвоведению

Рефераты по экологии

Краткое содержание произведений

Рефераты по физкультуре и спорту

Топики по английскому языку

Рефераты по математике

Рефераты по музыке

Остальные рефераты

Рефераты по авиации и космонавтике

Рефераты по административному праву

Рефераты по безопасности жизнедеятельности

Рефераты по арбитражному процессу

Рефераты по архитектуре

Рефераты по астрономии

Рефераты по банковскому делу

Рефераты по биржевому делу

Рефераты по ботанике и сельскому хозяйству

Рефераты по бухгалтерскому учету и аудиту

Рефераты по валютным отношениям

Рефераты по ветеринарии

Рефераты для военной кафедры

Рефераты по географии

Рефераты по геодезии

Рефераты по геологии

Рефераты по геополитике

Рефераты по государству и праву

Рефераты по гражданскому праву и процессу

Рефераты по делопроизводству

Рефераты по кредитованию

Рефераты по естествознанию

Рефераты по истории техники

Рефераты по журналистике

Рефераты по зоологии

Рефераты по инвестициям

Рефераты по информатике

Исторические личности

Рефераты по кибернетике

Рефераты по коммуникации и связи

Курсовая работа: Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр

Курсовая работа: Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии


Курсовая работа

КОНГРУЭНЦИИ ФРАТТИНИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-43

Селюкова Н.В.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии

Монахов В. С.

Гомель 2004


Содержание

Введение

1. Основные определения, обозначения и используемые результаты

2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства

Список литературы


Введение

Одно из направлений исследований самых абстрактных алгебраических систем, в частности, универсальных алгебр, связано с изучением, определенным образом выделенных подсистем таких систем. Например, в группах - это силовские подгруппы, подгруппа Фраттини, подгруппа Фиттинга, в алгебрах Ли --- это подалгебра Картана, Фраттини и т.д. Разработка новых методов исследований мультиколец, универсальных алгебр, нашедших свое отображение в книге Л. А. Шеметкова и А. Н. Скибы ``Формации алгебраических систем''(1), дает мощный импульс в реализации этого направленияи в универсальных алгебрах. В этой курсовой работе решается задача, связанная с изучением свойств подалгебр Фраттини и конгруэнции Фраттини универсальных алгебр, принадлежащих некоторому фиксированному мальцевскому многообразию. В частности, получены новые результаты, указывающие на связь подалгебры Фраттини с фраттиниевой конгруэнцией (теоремы (4)и(5)). Установлено одно свойство подалгебры Фраттини нильпотентной алгебры (теорема(2)). Как следствие, из полученных результатов следуют аналогичные результаты теории групп и мультиколец.

Перейдем к подробному изложению результатов курсовой работы, состоящей из введения, трех параграфов и списка литературы, состоящего из пяти наименований.

1 носит вспомагательный характер. Здесь приведены все необходимые определения, обозначения и используемые в дальнейшем результаты.

2 носит реферативный характер. Здесь приводятся с доказательствами результаты работ [??], касающееся свойств централизаторов конгруэнций.

3 является основным. На основе введенного здесь понятия --- конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини универсальной алгебры. В частности, доказывается, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры  нормальна в  (теорема(3)).


1. Основные определения и используемые результаты

Определение 1.1[??] Пусть  --- некоторое непустое множество и пусть , отображение -ой декартовой степени  в себя, тогда  называют -арной алгебраической операцией.

Определение 1.2[??] Универсальной алгеброй называют систему  состоящую из некоторого множества  с заданной на нем некоторой совокупностью операций .

Определение 1.3[??] Пусть  --- некоторая универсальная алгебра и  (), тогда  называют подалгеброй универсальной алгебры , если  замкнута относительно операций из .

Для любой операции , где  и .

Для любой операции  элемент  фиксируемый этой операцией в  принадлежит .

Определение 1.4 Всякое подмножество  называется бинарным отношением на .

Определение 1.5 Бинарное отношение называется эквивалентностью, если оно:

рефлексивно           

транзитивно    и

симметрично   

Определение 1.6 Пусть  некоторая эквивалентность на , тогда через  обозначают множество . Такое множество называют класс разбиения по эквивалентности  содержащий элемент . Множество всех таких классов разбиения обозначают через  и называют фактормножеством множества  по эквивалентности .

Определим -арную операцию на фактормножестве  следующим образом:

                                      

                                 

Определение 1.7 Эквивалентность  на алгебре  называется ее конгруэнцией на , если выполняется следующее условие:

Для любой операции  для любых элементов  таких, что  имеет место .

Определение 1.8 Если  и  --- конгруэнции на алгебре , , то конгруэнцию  на алгебре  назовем фактором на .

 тогда и только тогда, когда .

 или  или 1 --- соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .

Лемма 1.1 (Цорна). Если любая цепь частично упорядоченного множества  содержит максимальные элементы, то и само множество  содержит максимальные элементы.

Определение 1.9 Пусть  --- бинарное отношение на множестве . Это отношение называют частичным порядком на , если оно рефлексивно, транзитивно, антисимметрично.

Определение 1.10 Множество с заданным на нем частичным порядком называют частично упорядоченным множеством.

Теорема Мальцев А.И. Конгруэнции на универсальной алгебре  перестановочны тогда и только тогда, когда существует такой тернарный оператор , что для любых элементов  выполняется равенство . В этом случае оператор  называется мальцевским.

Определение 1.11 Алгебра  называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций , называемый центральным, что  для любого .

Определение 1.12 Подалгебра алгебры  называется собственной, если она отлична от самой алгебры .

Определение 1.13 Подалгебра  универсальной алгебры  называется нормальной в , если  является смежным классом по некоторой конгруэнции  алгебры .

Определение 1.14 Пусть  и  --- универсальные алгебры с одной и той же сигнатурой, отображение  называется гомоморфизмом, если

1)  и  имеет место ;

2) , где  и  элементы фиксируемой операцией  в алгебрах  и  соответственно.

Определение 1.15 Гомоморфизм  называется изоморфизмом между  и , если обратное к нему соответствие  также является гомоморфизмом.

Теорема Первая теорема об изоморфизмах Пусть  - гомоморфизм,  --- конгруэнция, тогда .

Теорема Вторая теорема об изоморфизмах Пусть  --- есть -алгебра,  --- подалгебра алгебры  и  --- конгруэнция на . Тогда  является подалгеброй алгебры ,  --- конгруэнцией на  и .

Теорема Третья теорема об изоморфизмах Пусть  --- есть -алгебра и  и  --- такие конгруэнции на , что . Тогда существует такой единственный гомоморфизм , что . Если , то  является конгруэнцией на  и  индуцирует такой изоморфизм .

2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр

Определение 2.1 Пусть  и  --- конгруэнции на алгебре . Тогда  централизует  (записывается: ), если на  существует такая конгруэнция , что:

1) из                                 

всегда следует                       

2) для любого элемента        

всегда выполняется         

3) если                              

то                                              

Под термином "алгебра" в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие .

Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом [??], сформулируем в виде леммы.

Лемма 2.1 [??] Пусть . Тогда:

1) существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;

2) ;

3) если                                   

то                                         

Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции  на алгебре  всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая . Она называется централизатором конгруэнции  в  и обозначается .

В частности, если , то централизатор  в  будем обозначать .

Лемма 2.2 [??] Пусть ,  --- конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) ;

2) , где ;

3) если выполняется одно из следующих отношений:

                                      

                                      

                                   

                                                  

4) из  всегда следует

Доказательство:

1) Очевидно, что  --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и .

2)  --- конгруэнция на , удовлетворяющая определению

2.1. Значит                    

3) Пусть                           .

Тогда                               

                                        

Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор  такой, что                           

Тогда получим               

т.е.                                            

Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).

4) Пусть                          

Тогда справедливы следующие соотношения:

                                        

                                        

                                        

Следовательно,         

где  --- мальцевский оператор.

Тогда                        

то есть                                 .

Так как                    

то .

Таким образом . Лемма доказана.

Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.

Лемма. 2.3 [??] Любая подалгебра алгебры , содержащая диагональ , является конгруэнцией на алгебре .

Доказательство:

Пусть                              

Тогда из   

следует, что            

Аналогичным образом из   

получаем, что

Итак,  симметрично и транзитивно. Лемма доказана.

Лемма 2.4 [??] Пусть . Тогда  для любой конгруэнции  на алгебре .

Доказательство:

Обозначим  и определим на алгебре  бинарное отношение  следующим образом:                 

тогда и только тогда, когда

где  

Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что  --- конгруэнция на алгебре , причем                                         

Пусть                                    

то есть                              

Тогда                                    

и, значит                            

Пусть, наконец, имеет место

Тогда справедливы следующие соотношения:

                                              

                                             

                                             


применяя мальцевчкий оператор  к этим трем соотношениям, получаем

Из леммы 2.2 следует, что  

Так как  то   

Значит,

Но , следовательно, .

Итак,

и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 2.5 [??] Пусть ,  --- конгруэнции на алгебре ,  и  --- изоморфизм, определенный на .

Тогда для любого элемента  отображение  определяет изоморфизм алгебры  на алгебру , при котором .

В частности, .

Доказательство.

Очевидно, что  --- изоморфизм алгебры  на алгебру , при котором конгруэнции ,  изоморфны соответственно конгруэнциям  и .

Так как

то определена конгруэнция

удовлетворяющая определению 2.1.

Изоморфизм  алгебры  на алгебру  индуцирует в свою очередь изоморфизм  алгебры  на алгебру  такой, что


для любых элементов  и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что  --- конгруэнция на алгебре , изоморфная конгруэнции .

Это и означает, что

Лемма доказана.

Определение 2.2 [??] Если  и  --- факторы на алгебре  такие, что  то конгруэнцию  обозначим через  и назовем централизатором фактора  в .

Определение 2.3 [??] Факторы  и  назыавются перспективными, если либо  либо                  

Теорема [??] Пусть , , ,  --- конгруэнции на алгебре . Тогда:

1) если , то

2) если , то  

3) если ,  и факторы ,  перспективны, то

4) если  - конгруэнции на  и , то

где , .

 Доказательство.

1) Так как конгруэнция  централизует любую конгруэнцию и , то

2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что

а в силу леммы 2.4 получаем, что                                   

Пусть  - изоморфизм . Обозначим

По лемме 2.5 , а по определению

Следовательно,        

3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции  и  на алгебре  имеет место равенство

Покажем вналале, что

Обозначим . Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре  существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:

а) если , то

б) для любого элемента ,

в) если  

то

Построим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и

Покажем, что  --- конгруэнция на .

Пусть

для . Тогда

и

Так как  --- конгруэнция, то для любой -арной операции  имеем

Очевидно, что

и

Следовательно,

Очевидно, что для любой пары                            

Значит,

Итак, по лемме 2.3,  - конгруэнция на . Покажем теперь, что  удовлетворяет определению 2.1, то есть  централизует . Пусть     (??)

Тогда

Так как , и , то . Следовательно,  удовлетворяет определению 2.1.

Если , то

значит,

Пусть, наконец, имеет место (1) и              (??)

 Тогда

Так как  и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит,  и поэтому

                                        

Тем самым показано, что конгруэнция  удовлетворяет определению 2.1, то есть  централизует .

Докажем обратное включение.

Пусть

Тогда на алгебре  определена конгруэнция  удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом:

                                                                                        (??)

тогда и только тогда, когда


                                                        (??)

и , .

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что  --- конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что . Покажем поэтому, что  централизует .

Так как    то

то есть  удовлетворяет условию 1) определения 2.1.

Если , то

следовательно,

Пусть имеет место (3) и .

Так как

то

Из (4) следует, что , следовательно,

то есть

На основании леммы 2.2 заключаем, что

Следовательно, .

А так как , то , то есть

4) Обозначим . Пусть

и удовлоетворяет определению 2.1.

Определим бинарное отношение  на  следующим образом

                                       

тогда и только тогда, когда

                                       

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что  --- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.

Это и означает, что  

Теорема доказана.

Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.

3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства

 

Определение 3.1 Конгруэнция  универсальной алгебры  называется фраттиниевой, если , для любой собственной подалгебры  из ;

Определение 3.2 Собственная подалгебра  универсальной подалгебры  называется максимальной, если из того, что для некоторой подалгебры  выполняется , всегда следует, что либо , либо .

Будем в дальнейшем рассматривать алгебры с условием максимальности и минимальности для подалгебр.

Теорема Конгруэнция  универсальной алгебры  является фраттиниевой тогда и только тогда, когда для любой максимальной подалгебры  из  имеет место равенство .

Доказательство:

Пусть  --- фраттиниева конгруэнция алгебры  и  --- максимальная подалгебра из .

Так как  и , то .

Обратно. Пусть  удовлетворяет свойству  и пусть  --- любая собственная подалгебра алгебры .

Так как выполняется условие максимальности для подалгебр, то найдется такая максимальная подалгебра  алгебры , что , но .

Тем самым теорема доказана.

Определение 3.3 Пусть  --- конгруэнция на универсальной алгебре , тогда  называется конгруэнцией, порожденной конгруэнцией , если  тогда и только тогда, когда существуют  такие, что .

Определение 3.4 Конгруэнцией Фраттини универсальной алгебры  назовем конгруэнцию, порожденную всеми фраттиниевыми конгруэнциями алгебры  и будем обозначать .

Теорема Конгруэнция Фраттини является фраттиниевой конгруэнцией.

Доказательство:

Из теоремы (??) следует, что достаточно показать выполнимость следующего равенства , где  --- произвольная подалгебра алгебры . Напомним, что

Так как , то существует такая конечная последовательность фраттиниевых конгруэнций , что . Это означает, что существует последовательность элементов, что .

Так как  и , то . Аналогичным образом получаем, что .

Следовательно, .

Теорема доказана.

Напомним следующее определение из книги.

Определение 3.5 Пусть  --- множество всех максимальных подалгебр алгебры ,  --- конгруэнция алгебры , порожденная всеми такими конгруэнциями  на , что , .

Лемма 3.1 [??] Конгруэнция  является фраттиниевой конгруэнцией на  и всякая фраттиниева конгруэнция на  входит в .

Доказательство:

Пусть  --- произвольная собственная подалгебра алгебря . Тогда найдется такая максимальная в  подалгебра , что . Значит,  и тем более . Следовательно,  фраттиниева конгруэнция на .

Пусть теперь  --- произвольная фраттиниева алгебры ,  --- произвольная максимальная подалгебра из . Тогда , т.е. . Следовательно, . Лемма доказана.

Определение 3.6 Подалгебра Фраттини универсальной алгебры  называется пересечение всех максимальных подалгебр из , и обозначается через .

Теорема Пусть  --- алгебра. Тогда .

Доказательство:

От противного. Предположим, что . Тогда существует элемент  такой, что  не принадлежит . Так как , то существует  и, следовательно,  для любой максимальной подалгебры  и  --- фраттиниева. Значит,  принадлежит любой максимальной подалгебре из . Следовательно, . Теорема доказана.


Лемма 3.2 Пусть  --- максимальная подалгебра алгебры  такая, что , где , тогда .

Доказательство:

Определим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом:  тогда и только тогда, когда существует элементы  и .

Как показано в работе [??]  --- конгруэнция на алгебре .

Покажем, что , т.е.  является смежным классом по конгруэнции .

Пусть  и пусть . В силу определения  найдутся такие элементы  и , что

Применим мальцевский оператор . Отсюда получаем

Следовательно, .

Лемма доказана.

Лемма 3.3 Пересечение нормальных подалгебр алгебры  является нормальной подалгеброй алгебры .

Теорема Подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры  нормальна в .

Доказательство:

Пусть алгебра  --- нильпотентна, тогда она обладает таким рядом конгруэнций, , где . Очевидно, что для любой максимальной подалгебры  алгебры  всегда найдется такой номер , что  и .

По лемме 3.2. . Отсюда следует, что . Так как пересечение нормальных подалгебр является нормальной подалгеброй, то .

Теорема доказана.

Заключение

В данной курсовой работе приведены с доказательствами результаты работ[2], касающееся свойств централизаторов конгруэнций. А также на основе введенного здесь понятия - конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини - универсальной алгебры. В частности, доказано, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры  нормальна в .


Список использованной литературы

[1] Шеметков Л. А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. --- М.: Наука, 1989. -- 256с.

[2] Ходалевич А. Д., Универсальные алгебры с -центральными рядами конгруэнций// Известия АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук, 1994. N1. с.30--34

[3] Smith J. D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.

[4] Hodalevich A. D., Maximal Subalgebras of universal algebras --- Manuscript, 1994.

[5] Кон П. М., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.

 





© 2010 Интернет База Рефератов