![]() |
|||||||||||||||||||||||||||
Главная Рефераты по сексологии Рефераты по информатике программированию Рефераты по биологии Рефераты по экономике Рефераты по москвоведению Рефераты по экологии Краткое содержание произведений Рефераты по физкультуре и спорту Топики по английскому языку Рефераты по математике Рефераты по музыке Остальные рефераты Рефераты по авиации и космонавтике Рефераты по административному праву Рефераты по безопасности жизнедеятельности Рефераты по арбитражному процессу Рефераты по архитектуре Рефераты по астрономии Рефераты по банковскому делу Рефераты по биржевому делу Рефераты по ботанике и сельскому хозяйству Рефераты по бухгалтерскому учету и аудиту Рефераты по валютным отношениям Рефераты по ветеринарии Рефераты для военной кафедры Рефераты по географии Рефераты по геодезии Рефераты по геологии Рефераты по геополитике Рефераты по государству и праву Рефераты по гражданскому праву и процессу Рефераты по делопроизводству Рефераты по кредитованию Рефераты по естествознанию Рефераты по истории техники Рефераты по журналистике Рефераты по зоологии Рефераты по инвестициям Рефераты по информатике Исторические личности Рефераты по кибернетике Рефераты по коммуникации и связи |
Курсовая работа: Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событийКурсовая работа: Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событийМинистерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет радиоэлектроники Факультет ПММ Кафедра ПМ КУРСОВАЯ РАБОТА Тема: Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий. Дисциплина: Теория вероятностей и математическая статистика Выполнил: Проверил: ст. группы ******** проф. ********** ***************** Харьков 2007 РЕФЕРАТ В данном курсовом проекте представлено описание понятий корреляционного момента и его свойств, коэффициента корреляции, случайных событий и их основных числовых характеристик, применения на практике корреляции, а также приведено решение практических задач. Пояснительная записка состоит из вступления, основной части, выводов, списка литературы. Записка 28с. Ключевые слова и выражения: СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, ДИСПЕРСИЯ, НАЧАЛЬНЫЙ МОМЕНТ, ЦЕНТРАЛЬНЫЙ МОМЕНТ, КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ, КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ, ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ, ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ЗАВИСИМОСТЬ. СОДЕРЖАНИЕ Введение………………………………………………………………………..….41 Теоретическая часть……….……………………………………………………5 1.1 Доверительные оценки…………………………………………..……….….5 1.2 Метод наибольшего правдоподобия………………………………….…...10 1.3 Точечные оценки…………………………………………………………..13 1.4 Критерий согласия…………………………………………………….……18 1.5 Теорема Чебышева…………………………………………...……….……19 1.6 Понятие доверительного интервала………………...……………….….…23 1.7 Сравнение средних………………………………………………………....25 1.8 Метод минимума X2 ……………………………………………………..…26 1.9 Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий…..…28 2 Практическая часть……………………………………………………………30 Выводы…………………………………………………………………………...37 Список литературы……………………………………………………………...38 ВВЕДЕНИЕТеория вероятности математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. При научном исследовании физических и технических задач, часто приходится встречаться с явлениями особого типа, которые принято называть случайными. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает несколько по-иному. Очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали. Случайности неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, т.е. модель, и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. При этом из бесчисленного множества факторов, влияющих на данное явление, выделяют самые главные, решающие. Влиянием остальных, второстепенных факторов просто пренебрегают. Изучая закономерности в рамках некоторой теории, основные факторы, влияющие на то или иное явление, входят в понятия или определения, которыми оперирует рассматриваемая теория. Как и всякая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, теория вероятностей также содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Естественно, что не все основные понятия могут быть строго определены, так как определить понятие это значит свести его к другим, более известным. Этот процесс должен быть конечным и заканчиваться на первичных понятиях, которые только объясняются. 1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ1.1 Доверительные оценки Выборочная оценка,
являясь точечной, дает оценочные значения соответствующего параметра из данной
выборки, но ничего не дает для точности и достоверности оценки. Такие данные
поставляют доверительные оценки. Пусть
Тогда случайный интервал В математической статистике
часто используют понятие квантилей, процентных точек (односторонних критических
границ и двухсторонних критических границ). Квантилью уровня p или p–квантилью
Для симметричных
случайных величин, у которых плотности Квантиль, односторонние и двухсторонние критические границы изображены на рис.1. Рис.1. р-квантиль и
критические точки для закона распределения 1.1.1 Доверительная оценка при неизвестной вероятности по большим выборкам Частота Если 1.1.2 Доверительные оценки для параметров нормального закона 1.1.2.1 Доверительная
оценка
Соответственно,
Для стандартной
нормальной случайной величины с уровнем значимости Имеем
Таким образом, 1.1.2.2 Доверительная
оценка Оценка основана на том
факте, что при высказанных предположениях величина Определяя одностороннюю
критическую точку
Для конкретной выборки 1.1.2.3 Доверительная оценка Отправной точкой является
тот факт, что при заданных предпосылках величина
Таким образом , 1.2 Метод наибольшего правдоподобия Пусть дана
выборка Функцией правдоподобия
называют функцию параметра Рассмотрим случай
дискретной случайной величины X с возможными значениями Метод наибольшего правдоподобия состоит в том, что в качестве оценки параметра берется значение, при котором функция правдоподобия достигает своего максимума. Параметр Часто вместо (1.2.3) используют уравнение Если плотность или Наиболее правдоподобные оценки имеют некоторые замечательные свойства. При достаточно общих условиях они являются состоятельными и асимптотически нормально распределенными (однако не всегда несмещенными), имеют среди всех асимптотически нормально распределенных оценок наибольшую эффективность. Справедливо следующее положение: если вообще имеется эффективная оценка, то она получается методом наибольшего правдоподобия. Пример 1.2.1
Оценить вероятность Решение. Пример 1.2.2.
Пусть случайная величина Величина Пример 1.2.3.
Пусть случайная величина Решение. Функция правдоподобия
следовательно
Согласно (2.5), получаем
следующие уравнения для определения 1.3 Точечные оценки Одной из задач математической статистики является оценка неизвестных параметров выбранной параметрической модели. Очень часто в приложениях рассматривают параметрическую модель. В этом случае предполагают, что закон распределения генеральной совокупности принадлежит множеству
Например, предположим,
что масса X детали имеет нормальный закон
распределения, но его параметры Как уже отмечалось , в математической статистике существуют два вида оценок: точечные и интервальные. В этой главе будут рассмотрены точечные оценки, а интервальным оценкам посвящена следующая глава. 1.3.1. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки Пусть Требуется построить статистику Интуитивно ясно, что в
качестве оценки параметра Какую же из этих
статистик предпочесть? В общем случае нужно дать ответ на вопрос: какими
свойствами должна обладать статистика Заметим, что в
дальнейшем, как правило, будем говорить об оценке параметра Определение 1.3.1.1 Статистику Иными словами, для
состоятельной оценки Естественным является то
требование, при выполнении которого оценка не дает систематической погрешности
в сторону завышения (или занижения) истинного значения параметра Определение 1.3.1.2. Статистику Если оценка является смещенной
(т.е. последнее равенство не имеет места), то величина смещения Говорят также, что оценка
для любого фиксированного
пи Определение 1.3.1.3. Если в некотором классе
несмещенных оценок параметра оценивать неизвестные параметры и при малых объемах выборки. Естественным является то
требование, при выполнении которого оценка не дает систематической погрешности
в сторону завышения (или занижения) истинного значения параметра Определение 1.3.1.4. Статистику Если оценка является смещенной
(т.е. последнее равенство не имеет места), то величина смещения Говорят также, что оценка
удовлетворяют условию
для любого фиксированного
пи Определение. Если в некотором классе несмещенных
оценок параметра Иными словами, дисперсия эффективной оценки параметра в некотором классе является минимальной среди дисперсий всех оценок из рассматриваемого класса несмещенных оценок. Замечание 1.3.1.1. Эффективную оценку в классе всех несмещенных оценок будем называть эффективной оценкой, не добавляя слов „в классе несмещенных оценок". Замечание 1.3.1.2. В литературе по математической статистике при рассмотрении параметрических моделей вместо термина «эффективная оценка» классе всех несмещенных оценок используют и другие: «несмещенная оценка с минимальной дисперсией», «оптимальная оценка». Теорема 1.3.1. Оценка (выборочное среднее) математического ожидания генеральной совокупности X с конечной дисперсией является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех линейных оценок, т.е. оценок вида где Напомним, что элементы
1.4 Критерии согласия Пусть (X1,..,Xn) - выборка с неизвестным законом распределения F(X). Рассмотрим гипотезы Н0: F(x)=F0(x) при конкурирующей Н1: F(x)¹F0(x). F0(x)- некоторая заданная функция распределения. Задача проверки гипотез относительно законов распределения называется задачей проверки согласия, а критерий для этой задачи - –ритерием согласия. Рассмотрим критерий согласия c2, или критерий Пирсона. Разобьем ось х на т
интервалов Рассмотрим случайную величину (ni - –лучайное) при Решающее правило для уровня значимости a: При построении c2n должно выполняться условие ni³10, в противном случае объединяют интервалы. В случае применения гипотезы Н0 говорят, что различие между F(x) и F0(x) является случайным с доверительной вероятностью 1-a и обусловлено конечностью выборки. 1.5 Теорема Чебышева Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание МХ и дисперсию DX, справедливо неравенство где a — любое положительное число. Доказательство. Доказательство проведём сначала для непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x). Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайная точка Х попадает за пределы участка (MX-a; MX+a), то есть А: a a
MX -a MX MX+a Вероятность попадания Х в этот участок равна Найдём дисперсию случайной величины Х Совершенно аналогично доказывается неравенство Чебышева и для дискретной случайной величины, имеющей значения x1, x2, ... с вероятностями p1, p2, ... Тогда вместо интеграла во всех формулах ставится знак суммы, где суммирование ведётся по тем xi , для которых |xi-MX|³a, что и требовалось доказать. Определение. Пусть имеется последовательность чисел x1, x2, ... , xn , ... Говорят, что эта последовательность сходится по вероятности к неслучайной величине а, если при неограниченном увеличении п вероятность события Хп-а, (где e>0 - произвольное малое фиксированное число) стремится к единице, то есть Иными словами, каковы бы ни были произвольно малые наперёд заданные числа e>0 и d>0 всегда существует N, такое, что при n>N PXn-a>1-d Первая теорема Чебышева (Закон больших чисел). Пусть имеется случайная величина Х с медианой МХ и дисперсией DX. Над этой случайной величиной Х производится п независимых опытов, в результате которых она принимает значения Х1, Х2, ... , Хп (п экземпляров” случайной величины Х). Пусть Тогда последовательность Доказательство. Найдём MYn и DYn : Применим к случайной величине Yn неравенство Чебышева, в котором положим a равным e, где e>0 — сколь угодно малое, наперёд заданное число. Как бы ни было мало e, всегда можно выбрать n таким большим, чтобы правая часть последнего неравенства стала меньше сколь угодно малого положительного числа d; следовательно, при достаточно большом п P<d ÞP<e>1-d, а это равносильно сходимости по вероятности Yn к MX Замечание 1.5.1. Первую теорему Чебышева можно записать и иначе, если положить Zn:=Yn-MX Замечание 1.5.2. Первая теорема Чебышева относится к случаю, когда случайные величины Х1, Х2, ... , Хп независимы и имеют одно и то же распределение, а значит одно и то же MX и DX. Рассмотрим случай, когда условия производимых опытов меняются. Вторая теорема Чебышева. Пусть имеется случайная величина Х. Над ней производятся независимые опыты, в результате чего мы получаем последовательность Х1, Х2, ..., Хn, ... с различными, в общем
случае, MХi и DXi (i= Если DXi£D i=1, 2, ... , где D - некоторое положительное число, то Доказательство.
Согласно неравенства Чебышева или, учитывая (1.5.1), имеем Как бы ни было мало произвольное наперёд заданное e, всегда можно выбрать n таким большим, чтобы правая часть последнего неравенства стала меньше произвольно малого d. Следовательно
что и требовалось доказать. Замечание 1.5.3. При формулировке второй теоремы Чебышева нельзя говорить, что так как 1.6 Понятие доверительного интервала Будем считать, что
независимая выборка Определение 1.6.1
Число Другими словами,
доверительный интервал обладает тем свойством, что, во-первых, его границы
вычисляются исключительно по выборке (и, следовательно, не зависят от
неизвестного параметра), и, во-вторых, он накрывает неизвестный параметр с
вероятностью Значение доверительной
вероятности Ниже мы приводим один из методов построения доверительных интервалов. Он состоит из трех этапов. 1.
Выбираем функцию не зависит от неизвестного параметра 2.
Выбираем два
числа
3. Таким образом,
4.
Решим двойное
неравенство Следовательно, Замечание 1.6.1 Описанная процедура,
разумеется, не является универсальной. Во-первых, вопрос о выборе функции Замечание 1.6.2 В силу неоднозначности
выбора функции 1.7 Сравнение средних Теперь рассмотрим случай, когда обе совокупности подчиняются нормальному распределению, но проверка гипотез о равенстве двух генеральных дисперсий закончилась отвержением гипотезы равенства. Такую задачу сравнения двух генеральных средних при неравных генеральных дисперсиях принято называть проблемой Беренса-Фишера (по имени учёного У. Беренса опубликовавшего первую работу на эту тему в 1929 г.). В этом случае вместо одной общей генеральной дисперсии мы имеем дело с двумя неравными генеральными дисперсиями: σ12 ≠ σ22. Соответственно имеем и две выборочные дисперсии s12 и s22. Тогда искомая t-статистика будет вычисляться по следующему выражению [1.7.1]:
Введём обозначения: θ= σ12 / σ22 , u = s12 / s22 и N= n1/ n2 . В этом случае выражение (1.7.1) можно переписать в следующем виде [(1.7.1)]:
Основная сложность этого случая заключается в том, что подкоренное выражение в знаменателе не имеет Хи-квадрат распределение, и потому статистика t не имеет распределения Стьюдента. В 40-60-е годы 20 века Бокс, Уэлч, Саттерзвайт, Кохрэн, Боно, Шеффе и многие другие статистики провели детальный анализ этой проблемы. Так в 1938 г. Уэлч исследовал приближённое распределение статистики (1.7.1) и показал, что при равных объёмах выборок n1 = n2 незнание величины θ= σ12 / σ22 не очень сильно влияет на итоговый результат. Однако для случая неравных объёмов выборок ошибки становятся весьма значительными. Другие подходы позволяли аппроксимировать статистику (1.7.2) распределение Стьюдента с дробными степенями свободы. 1.8 Метод минимума X2. Метод минимума X2 применим лишь и случае группированного непрерывною распределения или дискретного распределения. Оценки, получаемые этим методом, при больших п асимптотически эквивалентны оценкам, полученным с помощью более простого видоизмененного метода минимума X2, выражаемого уравнениями
или
в рассматриваемых случаях последний метод совладает с методом максимума правдоподобия. Основная теорема о предельном распределении X2 для случая, когда некоторые параметры оцениваются по выборке что оценки находятся с помощью видоизмененного метода минимума X2. Однако там же было указано, что имеется целый класс методов нахождения оценок, приводящих к тому же самому предельному распределению для X2. Теперь мы докажем это утверждение. Асимптотические выражения для оценок, получаемых с помощью видоизмененного метода минимума X2 были приведены в явной форме
для общего случая у неизвестных параметров а1,...,аг. Предположим, что выполнены условия 1)—3) предыдущего параграфа или аналогичные условия для дискретного распределения. Тогда из предыдущего параграфа следует, что оценки (1.8.3)асимптотически нормальны (это уже было показано в параграфе 30.3) и асимптотически эффективны. Во всех множествах
асимптотически нормальных и асимптотически эффективных оценок для параметров
имеются члены порядка n-1/2
такие же, как и в
(1.8.3). Однако из вывода предельного распределения для у2 следует,
что это предельное распределение полностью определяется членами порядка n-1/2 в (1.8.3). Действительно, по формулам получаем Таким образом, теорема о предельном распределении величины X2 справедлива для любого множества асимптотически нормальных и асимптотически-эффективных оценок параметров. 1.9 Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если её возможные значения 0, 1, 2, ... , т, ... (бесконечное, но чёткое множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой:
Число l называется параметром распределения. Простейший поток событий такая последовательность событий, происходящих в случайный момент времени. Поток событий называется пуассоновским, если он удовлетворяет аксиомам простейшего потока событий: При таких допущениях с большой степенью точности выполняются следующие условия: 1. Отсутствие последействия: вероятность того, что на произвольном временном промежутке (с точки зрения длины и расположения на временной оси) не зависит от того, что происходило в момент времени, предшествующему этому моменту. 2. Однородность потока: Вероятность того, что на некотором временном промежутке произойдет 0,1,2,…,n событий зависит только от его длины и не зависит от положення этого отрезка на временной оси. 3. Пусть Dt - длина временного промежутка, тогда: 4. Математическое ожидание распределения Пуассона равно: M Вариант 23 Задача 1 На отрезок единичной длины Решить задачу при Решение: Пусть дан отрезок Рис. 2.1 Пусть А – событие, когда
Для заданных значений Задача 2 В круг радиуса R наудачу ставится точка. Найти
вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур,
которые имеют площади Решить задачу при Решение: Поскольку фигуры не
пересекаются, то площадь, в которую должна попасть точка, равна Задача 3 Среди Решить задачу при Решение: Число способов купить Число способов купить Число способов купить Таким образом, число
способов купить
Общее число способов
купить Искомая вероятность Для заданных значений Задача 4 В лифт Решить задачу при Решение: Пусть Найдем Искомая вероятность Для заданных значений Задача 5 В двух партиях Решить задачу при Решение: Пусть
Для заданных значений Задача 6 Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком – р1, вторым – р2. Первый сделал n1, второй n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена. р1 = 0,76; р2 = 0.39; n1 = 2; n2 = 3. Решение: Пусть событие А – цель не поражена. Вероятность того, что первый стрелок не попадет в цель при одном выстреле равна (1 – р1). Вероятность того, что первый стрелок не попадет при n1 выстрелах равна (1 – р1)n1, вероятность того, что второй стрелок не попадет в цель при n2 выстрелах равна (1 – р2)n2. Получим Р(А) = (1 – р1)n1 (1 – р2)n2 = = 0,242*0,613= 0,013. Ответ: 0,013. Задача 7 Урна содержит М
занумерованных шаров от 1 до М. Шары извлекаются по одному без возвращения.
Событие B – хотя бы 1 раз совпадет номер шара
и порядковый номер извлечения. Определить вероятность события С. Найти
предельное значение вероятности при М М = 10. Решение: Количество совпадений
одного номера шара и порядкового номера извлечения равно
Для М = 10 получим Найдем предельное значение вероятности:
Задача 8 Дана плотность
распределения р(х) случайной величины a)
параметр b)
функцию
распределения c)
вероятность
выполнения неравенства
Решение: a)
найдем значение
параметра из b)
c)
Задача 9 Случайная величина
Решение: Найдем
Найдем
Ответ: ия
номера шара и порядкового номера извлечения при одном выстреле равна 1 -
р1_________________________________________
|
||||||||||||||||||||||||||