![]() |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Главная Рефераты по сексологии Рефераты по информатике программированию Рефераты по биологии Рефераты по экономике Рефераты по москвоведению Рефераты по экологии Краткое содержание произведений Рефераты по физкультуре и спорту Топики по английскому языку Рефераты по математике Рефераты по музыке Остальные рефераты Рефераты по авиации и космонавтике Рефераты по административному праву Рефераты по безопасности жизнедеятельности Рефераты по арбитражному процессу Рефераты по архитектуре Рефераты по астрономии Рефераты по банковскому делу Рефераты по биржевому делу Рефераты по ботанике и сельскому хозяйству Рефераты по бухгалтерскому учету и аудиту Рефераты по валютным отношениям Рефераты по ветеринарии Рефераты для военной кафедры Рефераты по географии Рефераты по геодезии Рефераты по геологии Рефераты по геополитике Рефераты по государству и праву Рефераты по гражданскому праву и процессу Рефераты по делопроизводству Рефераты по кредитованию Рефераты по естествознанию Рефераты по истории техники Рефераты по журналистике Рефераты по зоологии Рефераты по инвестициям Рефераты по информатике Исторические личности Рефераты по кибернетике Рефераты по коммуникации и связи |
Реферат: Решение уравнений в конечных разностяхРеферат: Решение уравнений в конечных разностяхМіністерство освіти і науки України Національний технічний університет “ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ" Кафедра “Обчислювальної техніки та програмування" Реферат з курсу “Численные методы" Тема: “Решение уравнений в конечных разностях” Виконав: студент групи Перевірив: Харків Содержание 1. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений 2. Решение линейных разностных уравнений 3. Рекуррентные формулы для решения разностных уравнений 4. Интерполяционные рекуррентные формулы 4.1 Интерполяция конечными разностями “назад” 4.2 Рекуррентные формулы Адамса Литература 1. Разностная аппроксимация дифференциальных уравненийИспользуя описанные выше соотношения между операторами дифференцирования и операторами конечных разностей несложно в заданном интервале изменения независимой переменной получить конечно-разностную аппроксимации дифференциальных уравнений системой алгебраических рекуррентных формул или уравнений. Основная идея аппроксимации схематически представляется так: В заданном в общем виде дифференциальном уравнении или системе производится замена независимой переменной t ее
представлением в заданном интервале Разрешив неявную форму разностного выражения относительно
старшей ординаты
После приведения исходной системы к системе уравнений
первого порядка каждая искомая переменная получает значение при или где
Такой вычислительный процесс в литературе получил название численного интегрирования систем дифференциальных уравнений по явному методу Эйлера. Основная трудность здесь заключается в выборе шага интегрирования для нецелочисленной независимой переменной t. 2. Решение линейных разностных уравненийСистема линейных разностных уравнений может быть в ряде случаев решена и аналитически. Решение представляется в виде алгебраического выражения от целочисленной переменной. Методика решения аналогична той, что применяется и при решении линейных дифференциальных уравнений. Используется тот факт, что общее решение неоднородного линейного уравнения представляется взвешенной суммой системы фундаментальных решений однородного уравнения и одного частного решения уравнения неоднородного. Воздействие неоднородности на характер общего решения не связано с конкретными значениями начальных условий. Именно это позволяет находить лишь одно частное решение уравнения с правой частью. Число фундаментальных решений однородного уравнения определяется порядком последнего. В качестве частных решений для линейных уравнений обычно используют функции, инвариантные по отношению к операции сдвига, т.е. функции, не изменяющие своей структуры при переносе начала координат. В конечно-разностных уравнениях это показательные функции: Где p - некоторый параметр-константа. Количество частных
решений определится числом параметров Пусть требуется заменить рекуррентный вычислительный процесс с псевдокодом следующего вида: на формульное выражение для
В качестве фундаментальной системы функций возьмем
Решив уравнение, найдем корни: Частное решение неоднородного уравнения (с правой частью) попробуем найти в виде функции, которая будет пропорциональна квадратуре от правой части с неизвестными коэффициентами: Для нахождения коэффициентов a и b подставим в
уравнение Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые при различных степенях n, получим откуда
Общее решение для конкретных начальных условий ищем в виде суммы частных решений:
Константы В результате, общее решение неоднородного уравнения будет: Для примера выпишем несколько первых членов ряда, полученных вычислением этого выражения: [0, - 1, 1, 2, 2, 5, 11, 16, 20, 27, 37, 46, 54, 65, 79, 92, 104, 119, 137, 154, 170,...] 3. Рекуррентные формулы для решения разностных уравненийИнтегрирование системы нелинейных разностных уравнений первого порядка по Эйлеру аналитически выполнить, как правило, не удается. Поэтому решение задачи получают в численном виде путем вычисления очередных значений процессов по рекуррентным формулам, начиная с известных начальных условий:
Где
Основной проблемой процесса численного интегрирования
является выбор величины шага h. Формула Эйлера вносит в процесс
численного решения погрешность, пропорциональную h. Это несложно
увидеть, если сравнить вычисляемое при интегрировании уравнения выражение с
первыми слагаемыми ряда Тейлора для точки
По Эйлеру
или иначе:
а по Тейлору:
или иначе:
Отбрасываемые члены разложения Результат интегрирования можно улучшить, если по найденному
значению Такого рода уточнения (итерации) можно повторять, пока в выражении
Погрешность модифицированной формулы будет пропорциональна Продифференцируем исходное уравнение и подставим выражение производной в ряд Тейлора. В результате получим: Аналогичное выражение для первых двух слагаемых и остаточного
ряда второй степени от h получается и для модифицированной формулы
Эйлера, если в последней осуществить разложение Усреднение производных с итерационным уточнением их для
нескольких точек интервала особенно наглядно представлено в формулах
Рунге-Кутта четвертого порядка где Здесь производная вычисляется в трех точках интервала h (на концевых точках и дважды в средней точке интервала для итерационного уточнения), после чего окончательное приращение находится как взвешенное среднее. 4. Интерполяционные рекуррентные формулыДостоинством методов Эйлера и Рунге-Кутта является их самоначинаемость независимо от порядка формулы, а основной недостаток в том, что число вычислений правой части неоднородной системы дифференциальных уравнений равно порядку формулы. В этом плане выгодно отличаются формулы интегрирования, построенные на основе интерполяционных многочленов, опорными точками которого являются предыдущие, уже вычисленные значения переходного процесса. Широко используемым методом интегрирования с таким подходом могут служить формулы интегрирования Адамса. 4.1 Интерполяция конечными разностями “назад”Возьмем в качестве примера интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования функции “назад”, т.е. в сторону меньших значений независимой переменной по отношению к текущему ее значению: Построение такого интерполяционного многочлена удобно осуществлять с применением повторных конечных разностей “назад”:
Взаимосвязь оператора Выразим ординату функции, отстоящую от текущей на k шагов
назад, через ординату функции Если положить
Таким образом, интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования “назад” принимает вид:
где
В таблице жирным шрифтом выделены конечные разности от нулевого порядка и выше, которые входят в интерполяционную формулу Ньютона. 4.2 Рекуррентные формулы АдамсаПусть теперь требуется найти решение уравнения
для которого уже каким-либо способом найдены k+1
значений решения Приращение решения на внешнем интервале
Интегралы в каждом слагаемом зависят только от i и определяют коэффициенты, с которыми повторные разности входят в выражение для приращения. Таким образом, экстраполяционная формула Адамса имеет вид:
где первые пять коэффициентов приведены в таблице
Появление нового значения В формулу Адамса вместо повторных разностей можно подставить
их выражения через ординаты Модификаций у формул Адамса много. Можно менять не только
интерполяционные многочлены, но и вычислять приращения в пределах нескольких
шагов. Наиболее простой получается формула для k=4, в которой приращение
вычисляется на интервале в два шага Если построить интерполяционный многочлен Ньютона не от
точки Литература1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. - 548с. 2. Волков Е.А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. - 248с. 3. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. - 375с. 4. Калашников В.И. Аналоговые и гибридные вычислительные устройства: Учеб. пособие. - Харьков: НТУ “ХПИ", 2002. - 196с. 5. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во иностр. лит., 1958. - 474с. 6. Скалкина М.А., “О колебаниях решений уравнений в конечных разностях", Изв. вузов. Матем., 1959, № 6, 138-144 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||