![]() |
||
Главная Рефераты по сексологии Рефераты по информатике программированию Рефераты по биологии Рефераты по экономике Рефераты по москвоведению Рефераты по экологии Краткое содержание произведений Рефераты по физкультуре и спорту Топики по английскому языку Рефераты по математике Рефераты по музыке Остальные рефераты Рефераты по авиации и космонавтике Рефераты по административному праву Рефераты по безопасности жизнедеятельности Рефераты по арбитражному процессу Рефераты по архитектуре Рефераты по астрономии Рефераты по банковскому делу Рефераты по биржевому делу Рефераты по ботанике и сельскому хозяйству Рефераты по бухгалтерскому учету и аудиту Рефераты по валютным отношениям Рефераты по ветеринарии Рефераты для военной кафедры Рефераты по географии Рефераты по геодезии Рефераты по геологии Рефераты по геополитике Рефераты по государству и праву Рефераты по гражданскому праву и процессу Рефераты по делопроизводству Рефераты по кредитованию Рефераты по естествознанию Рефераты по истории техники Рефераты по журналистике Рефераты по зоологии Рефераты по инвестициям Рефераты по информатике Исторические личности Рефераты по кибернетике Рефераты по коммуникации и связи |
Реферат: Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольникахРеферат: Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольникахРеферат по геометрии на тему «Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках 2009 год Цели: Углубить знания по теме «Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках» Задачи: Систематизировать знания по этой теме Подготовиться к задачам повышенной сложности в ЕГЭ Теория Вписанная окружность
Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на пересечении биссектрис треугольника. Свойство: в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Признак: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Описанная окружность
Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Центр окружности, описанной около треугольника, находится на пересечении серединных перпендикуляров. Свойство: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180˚. Признак: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚, то около него можно описать окружность.
AB – касательная, если OH = r Свойство касательной: AB ┴ OH (OH радиус, проведенный в точку касания H)
AB = AC ﮮ BAO = ﮮ CAO
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2 = a2 + b2 Медиана
Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон на синус угла между ними: Площадь треугольника
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Площадь трапеции
Прямоугольный треугольник
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы: Задачи: Задача 1: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.
Дано: ∆ BCD равнобедренный, K є BC, A є DC, BK = 15, KC = 10 Найти: KA Решение: CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25 CK = CA = 10 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), CB = CD, следовательно AD = CD – CA, AD = 25 – 10 = 15 BE = BK = 15, DE = DA = 15 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), следовательно BD = 15 + 15 = 30 ∆ CKA ~ ∆ CBD (ﮮC – общий, CK : CB = CA : CD), следовательно KA : BD = CA : CD, KA : 30 = 10 : 25, KA = 10 ∙ 30 : 25 = 12 Ответ: KA = 12 Задача 2: Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром O. Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16. Дано: ∆ ABC равнобедренный, AC – основание, ﮮ ACB = 75˚,
Найти: радиус описанной окружности Решение: Проведем медианы AF, CE, BH ∆ ABC равнобедренный, BH – медиана, следовательно, BH – высота, а значит ∆ HBC прямоугольный ﮮ HBC = 90˚ - ﮮ ACB, ﮮ HBC = 90˚ - 75˚ = 15˚ BO = OC = R, следовательно, ∆ BOC – равнобедренный, значит ﮮHBC = ﮮECB = 15˚ ﮮ COB = 180˚ - (ﮮ HBC + ﮮECB), ﮮ COB = 180˚ - (15˚ + 15˚) = 150˚ S = Ответ: R = 8 Задача 3: периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него окружности – 6 м. Найдите диаметр описанной окружности.
Найти: BC Решение: DO = OF = OE = r = 6 м, следовательно AD = AF = 6 м FC = EC, BD = BE (отрезки касательных, проведенные из одной точки) Пусть BD = x, FC = y, тогда AB = x + 6, AC = y + 6, BC = x + y По теореме Пифагора AB2 + AC2 = BC2
2x + 2y + 12 = 72
2x + 2y = 60 I: 2 x2 + 12x + 36 + y2 + 12y + 36 = x2 + 2xy + y2
12x 2xy + 12y + 72 = 0 I: 2
6x xy + 6y + 36 = 0 6x x(30 – x) + 6(30 – x) + 36 = 0 6x 30x + x2 + 180 – 6x + 36 = 0 x2 30x + 216 = 0 D = (-30)2 – 4 ∙ 1 ∙ 216 = 900 – 864 = 36 x1
=
x = 18 y = 12 x = 12 y = 18 BC = x + y BC = 18 + 12 = 30 (м) Ответ: 30 м – диаметр описанной окружности Задача 4: вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.
Найти: Решение: Пусть ﮮAOB = 2x, ﮮBOC = x, тогда по условию 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ﮮAOB = 60°, ﮮBOC = 30° Ответ: Задача 5: в ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности. Дано: ромб, радиус
вписанной окружности – R, BD Найти: Решение: Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R
Ответ: Задача 6: внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.
Решение: Пусть AB = BC = AC = a. Обозначим O1E = O1K =
ED = r, тогда AD = AE + ED = AE + r = AO1 – биссектриса угла
A, следовательно, ﮮ O1AE = 30˚ и в прямоугольном ∆AO1E имеем
AO1 = 2O1E = 2r и AE = Площадь части треугольника, расположенной вне окружностей, равна площади ∆ ABC без утроенной площади круга: Ответ: Задача 7: найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10. Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10 Найти: Решение: AB = CD = 10 по условию AB + CD = AD + BC по свойству вписанной окружности AD + BC = 10 + 10 = 20 FE = 2r = 2 · 4 = 8 Ответ: Литература 1. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006» 2. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави» 3. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений» |
|