![]() |
||
Главная Рефераты по сексологии Рефераты по информатике программированию Рефераты по биологии Рефераты по экономике Рефераты по москвоведению Рефераты по экологии Краткое содержание произведений Рефераты по физкультуре и спорту Топики по английскому языку Рефераты по математике Рефераты по музыке Остальные рефераты Рефераты по авиации и космонавтике Рефераты по административному праву Рефераты по безопасности жизнедеятельности Рефераты по арбитражному процессу Рефераты по архитектуре Рефераты по астрономии Рефераты по банковскому делу Рефераты по биржевому делу Рефераты по ботанике и сельскому хозяйству Рефераты по бухгалтерскому учету и аудиту Рефераты по валютным отношениям Рефераты по ветеринарии Рефераты для военной кафедры Рефераты по географии Рефераты по геодезии Рефераты по геологии Рефераты по геополитике Рефераты по государству и праву Рефераты по гражданскому праву и процессу Рефераты по делопроизводству Рефераты по кредитованию Рефераты по естествознанию Рефераты по истории техники Рефераты по журналистике Рефераты по зоологии Рефераты по инвестициям Рефераты по информатике Исторические личности Рефераты по кибернетике Рефераты по коммуникации и связи |
Шпаргалка: Основные понятия математического анализаШпаргалка: Основные понятия математического анализа1. Определение неопред. интеграла. Если ф-ия F(x) – первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], то мн-о ф-ий F(x)+C, где С =const, назыв неопред интегр от ф-и f(x) на этом промежутке: ∫f(x)dx=F(x)+C При этом ф-я f(x) назыв подынтегр ф-ей, f(x)dx – подынтегр выр-ем, х переменной интегр-я. 2. Опред-ие первообр от непрерыв ф-ии. Ф-ия F(x) назыв первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], если для всех значений х из этого промежутка вып- я F’(x)=f(x). Если ф-ия f(x), хЄ[a,b] – непрерыв, то для нее сущ-ет первообразная (неопред. Интеграл) 4. Выр-ие (∫f(x)dx). Производная неопред интеграла = подынтегр ф-ии. (∫f(x)dx)’=f(x). Док-во: (∫f(x)dx)’= =(F(x)+C)’= F’(x)= f(x)dx 5. Выр. ∫dF(x) Неопред интеграл от дифф-ла некоторой ф-ии = сумме этой ф-ии и произвольной постоянной ∫dF(x)=F(x)+C.Так как ∫dF(x)= F’(x)dx, то ∫F’(x)dx=F(x)+C. Теорема: Если ф-я F(x) является первообр ф-ии f(x) на отрезке [a,b], то мн-во всех первообр ф-ии f(x) задается формулой F(x)+C, С=const. Док-во: F(x)+C – первообр, тогда (F(x)+C)’= F’(x)+C’= F’(x)=f(x) Ф(х) – -тоже первообразная: Ф’(х)=f(x), xЄ[a,b]. (Ф(х)-F(x))’= Ф’(х)-F’(x)=f(x)- f(x)=0 =>Ф(х)-F(x)=C, С-const. Таким образом Ф(х)=F(x)+С. Ф-ия, производ которой на некотором промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежут-ке. φ’(x)=0 => φ(x)=C, для каждого хЄ[a,b], тогда для каждого х1,х2 Є [a,b], х1<х2. По теореме Лангранжа: φ(x2)- φ(x1)=0, φ(x)=С 6. Если k-const, ненулевое число, то ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx –k можно вынести из-под знака интеграла. Пусть F(x) – первообр для ф-ии f(x), т.е. F’(x)=f(x), тогда kF(x)-первообр для ф-ии kf(x): (kF(x))’=kF’(x)=kf(x). èk∫f(x)dx=k[C+(x)F]=kF(x)+C1=∫kf(x)dx, где С1=kC 7. Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то и ∫f(u)du= F(u)+C, u=φ(x) – произвольная ф-ия, непрерывн, дифферен-я. f(x)-непрерыв. => ∫f(x)dx=F(x)+C, u=φ(x)-непрерыв. дифферен.ф-я. F(u)=F(φ(x)) –согласно инвариантности первого дифф-ла. Инвариантность первого дифф-ла: y=f(x) dy=f’(x)dx y=f(u), u=φ(x)– непрерыв, диф-я dy=f’(x)du dF(u)=F’(u)du= =f(u)du ∫f(u)du=∫d(F(u))=F(u)+C 8. Выражение d(∫f(x)dx)=f(x)dx - Дифференциал от неопред интегр = подынтегр выр-ю. d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C) =dF(x)+dC=F’(x)dx+0=f(x)dx 9. Интеграл ∫[f(x)±g(x)]dx= ∫f(x)dx±∫g(x)dx –неопред интеграл от алгебраической суммы двух ф-ий равен алгебраической суммe интегр от этих ф-ий в отдельности: Пусть F(x) и G(x) – первообразные для ф-ий f(x) и g(x): ∫[f(x)+g(x)]dx=∫(F’(x)+G’(x))dx=∫(F(x)+G(x))’dx=∫d(F(x)+G(x))= F(x)+G(x)+C= F(x)+G(x)+C1+C2=F(x)+C1+G(x)+C2 =∫f(x)dx+∫g(x)dx. 10. Вывод формулы замены переменного в неопред интегр (подстановка). Пусть ф-я x=φ(t) опред-на и диф-ма на некотором промежутке Т и Х-мн-во значений этой ф-ии, на кот. определена ф-я f(x). Тогда, если на мн-е Х ф-я f(x) имеет первообр, то на мн-ве Т справедлива фор-ла: ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ’(t)dt Док:Пусть F(x)-первообр для f(x) на мн-ве Х. Рассмотрим на мн-ве Т сложную ф-ю F[φ(t)]: (F[φ(t)])’= Fx’[φ(t)]φ’(t) =f[φ(t)]φ’(t), т.е. ф-я f[φ(t)]φ’(t) имеет на мн-ве Т первообр F[φ(t)] >∫f[φ(t)]φ’(t)dt=F[φ(t)]+C,Замечая что F[φ(t)]+C=F(x)+C= ∫f(x)dx, => получаем ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ’(t)dt. Дарбу: Mn=sup (f(x)); mn=inf (f(x)), xÎ(xi-1; xi) Sρ=å Mn∆xi верхний; Sρ=å mn ∆xi- нижний; СВ-ВА: 1, "верхняя сумма >=нижней; 2, при изменеии разбиения верхняя не увел, нижняя не умень.; 3, измельчение разбиения-добовлене нескольких точек 0=< Sρ-I<e -для верх и ниж - Лемма. 11. Вывод формулы интегрир по частям. Пусть ф-ии u(x) и v(x) определены и диф-мы нанекотором пром-ке Х и пусть ф-я u’(x)v(x) имеет первообр на этом пром-ке. Тогда на пром-ке Х ф-я u(x)v’(x) также имеет перво-ю и справедлива формула: ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Док-во: [u(x)v(x)]’= u’(x)v(x)+u(x)v’(x) è u(x)v’(x)=[u(x)v(x)]’-u’(x)v(x)Первообр ф-ии [u(x)v(x)]’ на пром-ке Х является ф-я u(x)v(x). Ф-я u’(x)v(x) имеет первообр на Х по условию теор. è, и ф-я u(x)v’(x) имеет пер-ю на Х.Интегр-уя последнее рав-во получаем: ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Так как v’(x)dx=dv,u’(x)dx=du, то ее можно записать в виде: ∫udv=uv-∫vdu По лекциям: d(uv)=udv+vdu;∫d(uv)= ∫udv+vdu => ∫udv=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu Теорема о существовании конечного. 12. Определение дробно рациональной ф-ии. Понятие правильной и неправильной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида Pn(x)=anxn+ an-1xn-1 +…+ a1x1+ a0, n – натуральное число. ai, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени. Определение: Дробно рацион фун-й (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отношению 2-х мн-нов: f(x)= Pm(x)/ Qn(x), Pm(x)-мн-eн степени m, Qn(x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида 1) A/(x-a) 2) A/(x-a)k k>=2 целое 3) (Mx+n)/(x2+px+q) x2+px+q=0, D<0 4) (Mx+n)/(x2+px+q)k k>=2 предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий: Пусть сущ f. 13. Если х=а – действит корень кратности k знамен-ля Qn(x) прав-ой рацион дроби, т.е. Qn(x)=(х-а)k Õn-k(x) Тогда дробь будет представляться в виде суммы 2 правильных дробей: Pm(x)/Qn(x)=A/(х-а)k+Rs(x)/(х-а)k-1Õn-k(x) A-некоторая постоянная, s<n-1 Док-во: Pm(x)/Qn(x)=[A Õn-k(x)+ Pm(x)-A Qn-k(x)]/[(х-а)k Õn-k(x)]=[ A Õn-k(x)]/ [(х-а)k Õn-k(x)]+[ Pm(x)-A Qn-k(x)]/ [(х-а)k Õn-k(x)]=A/(х-а)k +[Pm(x)-A Qn-k(x)]/ [(х-а)k Õn-k(x)], для каждого А. х=а – корень ура-я Pm(x)- A Õn-k(x)=0; Pm(а)- A Õn-k(а)=0; Pm(а)≠0 и A Õn-k(а)≠0; A= Pm(а)/A Õn-k(а); Pm(x)- A Õn-k(x)=(x-a) Rs(x); Pm(x)/Qn(x)= A/(х-а)k +[(x-a) Rs(x)]/[(x-a) Õn-k(x)]= A/(х-а)k + Rs(x)/[(х-а)k-1 Õn-k(x)]; A= Pm(а)/Õn-1(а). 14. Если Qn(x)= (x2+px+q)µ Тn-µ(x), где p2-4q<0, Тn-µ(x) мн-ен не делится на x2+px+q, то правильную рацион дробь Pm(x)/Qn(x) можно представить в виде суммы 2 правильных: Pm(x)/Qn(x) =(Mx+N)/ (x2+px+q)µ +Фs(x)/[ (x2+px+q)µ-1. Тn-µ(x)],µ,N-нек постоянные, s<n-1 Док-во: Pm(x)/Qn(x) =[(Mx+N) Тn-µ(x)+ Pm(x)-(Mx+N) Тn-µ(x)]//(x2+px+q)µ Тn-µ(x)]= (Mx+N)/(x2+px+q)µ+ [Pm(x)-(Mx +N) Тn-µ(x)]/[ (x2+px+q)µ Тn-µ(x)] для люб µ и N. x2+px+q=0, D<0, x12=α±iβ, µ и N: Pm (α+iβ)-[ µ (α+iβ)+N]*T n-µ(α+iβ)=0. µ (α+iβ)+N=[ Pm (α+iβ)] /[ T n-µ(α+iβ)]=k+il. Система{ µ α+N =k=> N=k- α(L/b) µb=L=> m=L/b Pm(x)/Qn(x)=(Mx+N)/(x2+px+q)µ +Фs(x)/[ (x2+px+q)µ-1Тn-µ(x)] конечному пределу при ранге разбиения à 0. 15. Разложение рацион дроби на простейшие. Если рацион ф-я R(x)/Q(x) имеет степень мн-на в числ-ле < степени мн-на в знамен-ле, а мн-н Q(x) представлен в виде Q(x)= A(x-a)r(x-b)s…(x2+2px+q)t(x2+2ux+v)z …, где a,b,.., p,q,u,v,…-вещественные числа, то эту ф-ю можно единств образом представить в виде:R(x)/Q(x) =A1/(x-a)+A2/(x-a)2+…. An/(x-a)n+…. (M1x+N1) / (x2+2px+q)+ (M2x+N2)/ /(x2+2px+q)2+…+(Mkx+Nk)/(x2+2px+q)k +, где А1,А2,.М1..N1-вещест числа 16. Определение дробно рацион фун-ии. Понятие правильной и неправ-ной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида Pn(x)=anxn+ an-1xn-1 ++ a1x1+ a0, n – натуральное число. ai, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени. Определение: Дробно рацион фун-uей (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отн-ю 2-х мн-нов: f(x)= Pm(x)/ Qn(x), Pm(x)-мн-eн степени m, Qn(x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида 1)A/(x-a) 2)A/(x-a)k k>=2 целое 3)(Mx+n)/(x2+px+q) x2+px+q=0, D<0 4) (Mx+n)/(x2+px+q)k k>=2 17. Вычисление интегралов от тригонометрических ф-ий. 1) ∫R(sinx, cosx)dx Замена перем-ных tg(x/2)=t (универ. тригонометр замена) sinx=2t/(1+t2) cosx=(1-t2)/ /(1+t2) dx=2/(1+t2)dt;∫R(2t/(1+t2), (1-t2)/ /(1+t2)) 2/(1+t2)dt=∫Ř(t)dt 2)∫R(sinx) cosxdx=|sinx=t, cosxdx=dt|=∫R(t)dt 3)∫R sinx(cosx)dx=|cosx=t, -sinxdx=dt|=-∫R(t)dt 4) ∫R(tgx)dx=|t=tgx, x=arctgt, dx=dt/(1+t2)|= ∫R(t)dt/(1+t2) 5) R(sinx, cosx)= R(-sinx, -cosx) ∫R(sinx, cosx)dx=|t=tgx, dx = dt/(1+ t2)| =∫Ř(t)dt 6) ∫sin m x cos n xdx a)m=2k+1 ∫sin 2k x cos n x sinxdx=∫(1-cos 2 x)k cos n x sinxdx=|t=cosx, dt=-sinxdx|=-∫(1-t 2)k t n dt b)n=2k+1 ∫sin m x cos 2k x cosxdx= ∫sin m x (1-sin 2 x)k dsinx 7) ∫sin 2p x cos 2a xdx sin2x=(1-cos2x)/2 cos2x=(1+cos2x)/2 sinxcosx=(1/2)sin2x 8) m=-µ n=-ν замена t=tgx 1/ sin2x=1+ ctg2x 1/ cos2x=1+tg2x 9) ∫tg m x dx; ∫ctg m x dx, m-целое >0ое tg2x=1/ cos2x-1 сtg2x=1/ sin2x-1 10) ∫sinmxcosnxdx ∫sinmxsinnxdx ∫cosmxcosnxdx sinmxcosnx=(1/2)(sin(m+n)x+sin(m-n)x) sinmxsinnx=(1/2)(cos(m-n)x-cos(m+n)x) Теорема о существовании конечного предела интегральных сумм для непрерывных ф-ийПусть существует f определенная на замкнутом интервале [a,b] => ее интегр суммы стремяться к конечному пределу при ранге разбиения à 0. ax2+bx+c=a(x+b/2a)+(4ac-b2)/(4a2) x+b/2a=t; (ax+b)/(cx+d)=tk=> ax+b= cx tk+ dtk=>x=…; dx=(…)dt Замена переменной: ∫f(x)dx=|x= φ(t); t=g(x); dx= φ’(t)dt |=∫f(φ(t)) φ’(t)dtПоднесение по знак дифф-ла: Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(n)dx=F(n)+C интегрир по частям: ∫udv=uv-∫vdu ∫x sin x dx=|u=x; du=dx; dv=sin x dx; v= -cos x|=-xcos x-∫-cos xdx= -xcos x+sin x. Ф-цию вида R(x,mÖ(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной ирр-тью. С помощью замены t=mÖ(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm= (ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm)/(ctm-a) –рацион ф-ция от t; dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)² Þ òR(x,mÖ(ax+b)/ (cx+d))dx=òR((b-dtm)/ (ctm-a),t) (mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)²= òR1(t)dt. R1(t)-рацион-ая. Вида òR(x,Öax²+bx+c)dx, -квадр-ая ирр-ть где а, b, c=const. Если трёхчлен ax²+bx+c имеет действит корни х1 х2 то ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,Öax²+bx+c)=R(x,(x-x1)Ö(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,Ö(x-x2)/(x-x1); пусть ax²+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=Ö(ax²+bx+c) +xÖa Þax²+bx+c=t²-2xtÖa+ax²; x=(t²-c)/2t(Öa)+b –рацион функ-ция от t Ч.Т.Д; Если а<0 с>0 (ax²+bx+c)>=0) то можно сделать замену Öax²+bx+c=xt+Öc {}{} Опред интеграл. Ограниченность интегрируемой ф-ии. {O}Разбиением t[a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,it удовлетворяющее условию x0=a<x1<x2<…<xit-1<xit{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] назыв отрезком разбиения t{} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и t произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) xiÎ[xi-1,xi] I=1,..,it и рассмотрим сумму st(f,x1,…,xit)= åI=1ixf(xI)Dx; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред ò ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается aòbf(x)dx Если " E >0 $dE=d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|<dE и любом выборе (.) xiÎ[xi-1,xi], I=1,…,it | åI=1itf(xi)Dx-I | <E При этом пишут I=limst |t|®0. {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение t отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[xj0-1,xj0] Тогда на этом отрезке существует последов-ть точек $ {xnjo}>0 | limn®¥f(xnjo)=¥ Рассмотрим сумму st=åI=1itf(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +åI=1itf(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xiÎ[xi-1,xi] i¹jo limst(f,x1,…,x0n,..,xit) =lim(f(xjo)Dxjo+B)=¥ m>0 существует n0 | st(f,x1,…,xjo(n),…,xit)>m Отсюда Þ, что интегр сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $ I=lim|t|®0stÞ "E>0 $dE>0 | "t, |t|<dE и любой выбор точек xi вып-ся нер-во |dt-I|<EÞ|dt|=|dt-I+I|<|dt-I|+|I| <E+|I|; M=E+|I| при любом разбиении t в частности при при |t|<dE можно выбрать точки x1,..,xit такие, что |st|>M Þф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д. Ф-ла Ньтона-Лейбница aòbf(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|аb –(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных. Þ (1) {Док-во} F(x)= aòxf(t)dt тогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b] $ F(x)=Ф(х)+С; aòxf(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то aòаf(t)dt=0 Þ 0=Ф(а)+СÞ С=-Ф(а)Þ aòxf(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д. 18. Равномерная сх-сть ф-ых послед-стей и рядов. Признак Вейерштрасса. Ф-циональную посл-сть {fn)x)} x Î E наз. равномерно сходящейся ф-цией f на м-ж Е, если для Î e >0, сущ номер N, такой, что для " т х Î E и " n >N вып-ся: |fn(x)-f(x)|<e. Если м-ж {fn)x)} равномерно сх-ся на м-ж Е, то она и просто сх-ся в ф-ции f на м-ж. Е тогда пишут: fn à f.
Док-ва: Абсолютная сх-сть в каждой т. х следует из неравенства (8) и сх-ти ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма. Зафиксируем произвольное
e
>0 В силу сх-ти ряда (7) сущ. номера N, " n >N и вып. нерво 19. Степенные ряды. Теорема Абеля. Степенным рядом
наз ф-ный ряд вида: a0+a1x+a2x2+… + anxn =
|
|