Учебное пособие: Перпендикуляр

Ход урока.

Деятельность учителя	Деятельность ученика
– Мы завершили изучение большой темы курса стереометрии «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Как эта тема у нас появилась? – Хорошо. В планиметрии мы изучали перпендикулярность прямых. А какие объекты могут быть перпендикулярны в пространстве? – Да! Поэтому и тема называется «Перпендикулярность прямых и плоскостей».	– В планиметрии мы рассматривали различные случаи расположения двух прямых по наличию у них общих точек, в частности перпендикулярность прямых. По аналогии с изучением темы «Параллельность прямых и плоскостей», мы предположили, что аналогичные понятия можно ввести и в стереометрии. – Перпендикулярными в пространстве могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости.
– Что же мы изучали в теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»? – А какие задачи решали? – Вы видите, какой это обширный материал, сколько в нем разных теорем, задач. На его рассмотрение мы потратили 14 уроков. Что нам предстоит сделать теперь? – А что значит привести знания в систему? – Правильно. А как будет звучать тема сегодняшнего урока? – Хорошо. Цели мы уже сформулировали. Запишем тему.	–Определения перпендикулярности различных объектов, доказывали признаки и свойства перпендикулярности, способы нахождения расстояний и углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями. – Доказывали перпендикулярность объектов, находили соответствующие расстояния и углы. – Привести полученные знания и умения в систему и подготовиться к контрольной работе. – Выделить основные понятия, установить взаимосвязь между ними, а также выделить основные типы задач и методы их решения. – Перпендикулярность прямых и плоскостей.
– Перпендикулярность каких объектов мы изучили? – Будем работать с таблицей. < Открывает заголовок таблицы 1> – Итак, в теме мы выделили три блока, связанные с перпендикулярностью. Вспомним, определение перпендикулярности каждой пары объектов и выделим способ доказательства перпендикулярности каждой пары. Какие прямые называются перпендикулярными? – Как могут быть расположены перпендикулярные прямые в пространстве? < Открывает соответствующий рисунок> – Какой теоретический факт, связанный с перпендикулярностью прямых мы изучали? – Сформулируйте ее. < Открывает рисунок> – Поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Начнем с определения. < Открывает рисунок> – В этой части было доказано много теорем, подумайте, какие теоремы вы бы отнесли к ней. Называйте и формулируйте их. <Открывает соответствующие рисунки> – В эту часть мы отнесем теорему о трех перпендикулярах и обратную к ней. А как вы думаете почему? –Молодец! Рассмотрим последнюю часть. Какие две плоскости называются перпендикулярными? –Какие факты можно отнести в эту часть? – Правильно. Итак, тема «Перпендикулярность прямых и плоскостей» появилась по аналогии с темой «Перпендикулярность прямых на плоскости». Я напомню вам, что многие определения и теоремы вы формулировали сами по аналогии с известными определениями в планиметрии или обобщая их – заменяя прямые на плоскости, лучи на полуплоскости. При доказательстве теорем в каждом последующем блоке использовались теоремы предыдущего блока <показывает столбцы> и теоретические положения темы «Параллельность прямых и плоскостей». Однако и перпендикулярность работает на параллельность – мы получили новые свойства и признаки параллельности прямых и параллельности плоскостей. Посмотрите на рисунки 7 и 8. Например, сформулируйте признак параллельности прямых по рисунку 7. –Хорошо. Продолжите предложение: «Две прямые в пространстве перпендикулярны, если …». <Аналогичная работа проводится для оставшихся двух случаев>	– Перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей. – Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900 . – Они могут пересекаться и скрещиваться. – Лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей. <Формулируют> – Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. – Признак перпендикулярности прямой и плоскости <формулирует>. – Теорема о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости <формулирует>. – Теорема о связи между параллельностью двух плоскостей и их перпендикулярностью к прямой <формулирует>. – Потому что она доказывается с помощью определения прямой перпендикулярной к плоскости. – Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900 . –Признак перпендикулярности двух плоскостей. - Две прямые в пространстве параллельны, если они перпендикулярны некоторой плоскости. Две прямые в пространстве перпендикулярны, если - одна из них перпендикулярна некоторой прямой, а другая ей параллельна; - одна из них перпендикулярна некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости; - одна из них является наклонной к некоторой плоскости, а другая лежит в этой плоскости и перпендикулярна проекции первой прямой. <Ученики формулируют следующие эвристики: Прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны, если - прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости; - прямая параллельна некоторой другой прямой, перпендикулярной данной плоскости; - данная плоскость параллельна некоторой другой плоскости, перпендикулярной данной прямой. Две плоскости перпендикулярны, если одна из этих плоскостей содержит прямую, перпендикулярную второй плоскости. >
–Давайте теперь поработаем с задачей. Рассмотрим следующую конфигурацию: дан равносторонний треугольник АВС, через середину О стороны АВ проведен перпендикуляр ОD к плоскости АВС, построены отрезки DА, DВ, DС, ОС. Запишем что дано. Задание 1: найдите пары перпендикулярных прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, выделите теоретический базис доказательства. – Работаем в парах. Первый ряд ищет пары перпендикулярных прямых, второй – перпендикулярных прямой и плоскости, третий ряд – пары перпендикулярных плоскостей. Даю вам 5 минут. – Начнем с первого ряда. Делайте записи в тетради. <Записи на доске делает ученик> –Хорошо. Послушаем теперь второй ряд. –Третий ряд, пожалуйста.	<Работают> < Ученики называют по одной найденной паре по очереди, называя то положение, которое использовали> – DO^AB (DO^ABC, значит, по определению прямой, перпендикулярной плоскости , DO, в частности, перпендикулярно АВ) – DO^AC, DO^BC (аналогично) – DC^AB (по лемме, теореме о трех перпендикулярах, лемме). –DO^ABC(по условию). –AB^COD,CO^ADB(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). –DAB^ABC (по признаку перпендикулярности плоскостей) –DOC^ABC (по признаку перпендикулярности плоскостей) –DOC^ADB (по признаку перпендикулярности плоскостей).
– Мы знаем, что изученная тема позволяет ввести метрические характеристики пространства: расстояния между объектами и углы между ними.
Давайте повторим, как определяются расстояния между различными фигурами. <Открывает заголовок: «Расстояния в пространстве»> <Учитель открывает по очереди каждый рисунок в таблице> –Что называется расстоянием от точки до прямой? –Какие еще расстояния можете назвать? – Вспомните, как мы решали задачи о нахождении расстояний. – То есть решение таких задач сводилось всегда к решению треугольников, поэтому отметим это в таблице. – Теперь вспомним, какие углы мы рассматривали.<Открывает заголовок: «Углы в пространстве»> – Опишите это понятие. <Открывает соответствующий рисунок> – Какие еще углы вы знаете? – Решение задач на нахождение углов тоже сводится к решению треугольников.	– Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного от этой точки к данной прямой. – От точки до плоскости. Это длина перпендикуляра, проведенного изданной точки к данной плоскости. – Расстояние между параллельными прямыми. Это расстояние от произвольной точки одной прямой до другой. – Между параллельными прямой и плоскостью. Это расстояние от произвольной точки прямой до плоскости. – Между параллельными плоскостями – расстояние от произвольной точки одной из плоскостей к другой. – Между скрещивающимися прямыми– расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проведенной через другую прямую параллельно первой. – Сначала мы строили отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Затем включали его в треугольник. – Угол между прямыми. – Если прямые пересекаются, то углом между ними называется наименьший из углов, образованных при их пересечении. Если прямые скрещиваются, то надо провести прямые, параллельные данным через произвольные точки пространства и искать угол между ними. – Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. – И угол между плоскостями – это наименьший двугранный угол, образованный при их пересечении.
– Вернемся к задаче. Найдите углы наклона прямых DA, DB, DC к плоскости ABC. Будем использовать тот же рисунок. Две минуты вам на размышление. – Начнем с первого задания. – Как вычислять угол мы только поговорим, а вычисления сделаете дома. Продолжай. –Второй ряд, пожалуйста. –И последний угол? –Дорешаете дома. –Следующее задание. Найдите расстояния от т. D до пл. АВС, от С до АDВ, от А до DОС. Работаем по рядам и по тому же рисунку. –Отлично! Теперь найдите расстояния от точки D до прямых АВ, ВС, АС. Эту задачу будем решать на новом рисунке. –Итак, начнем. –Далее. Прежде чем вычислять, нужно правильно построить искомый отрезок. Пусть кто-нибудь выйдет к доске и построит его. – Мы не знаем как изобразить перпендикуляр из точки D до прямой ВС. В какой еще плоскости расположена прямая ВС? – Чем является искомая прямая по отношению к этой плоскости? – То есть прямая ВС должна быть перпендикулярна к наклонной. Что отсюда следует? – А через какую точку пройдет проекция наклонной? – Значит нужно сначала изобразить перпендикуляр из точки О к прямой ВС. Можем ли мы это сделать? – А если бы мы и о треугольнике АВС ничего не знали, то как бы изобразили перпендикуляр из точки D к прямой ВС? – Как найти DК? Как найти расстояние от D до АС? Постройте его на доске. – Найдите линейные углы двугранных углов при ребрах АС и ВС. Это задача №7. – Назовите их и докажите. –Как их найти?	– Так как ОD^АВС, то АО – проекция наклонной АD на плоскость АВС, следовательно ÐDАО – угол между DА и АВС. – Его можно найти из прямоугольного треугольника АОD: DО дано, а АО равно половине АВ. –Угол между DВ и АВС – это ÐDВО. –Угол между DС и АВС – это ÐDСО. – Так как DО перпендикуляр, проведенный из точки D к плоскости АВС, то DО – искомое расстояние. – Мы доказывали, что СО^DАВ, значит СО–расстояние от С до DАВ. –АВ^DОС, то АО–расстояние от А до DОС. Так как DО перпендикулярно АВ, то DО – расстояние между D и прямой АВ. –АВС. – Наклонной. – Она должна быть перпендикулярной к проекции. – Через точку О, так как она проекция точки D. – Да. Сначала построим перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А. Пусть М–середина ВС, тогда АМ – медиана правильного ∆АВС, а, следовательно, и высота. Проведем ОК параллельно АМ, тогда ОК^ВС, и ОК–проекция DК на АВС. При этом DК^ВС (по теореме о трех перпендикулярах). Поэтому DК–расстояние от точки D до прямой ВС. Произвольно. – Его можно найти из треугольника DОК. DО известно, ОК равно половине АМ, так как ОК – средняя линия ∆АМВ. – Аналогично, причем DL равно DК. – Они уже построены. – ÐDКО – линейный угол двугранного угла при ребре ВС (по определению), так как ОК перпендикулярна ВС и DК перпендикулярна ВС. Аналогично, ÐDLО – линейный угол двугранного угла при ребре АС. – Например, ÐDКО можно найти из прямоугольного треугольника DОК. А угол DLO равен углу DКО.
– Это все задания, которые мы планировали решить на уроке. – А теперь подведем итоги сегодняшней работы. Мы говорили о понятии перпендикулярности в пространстве. Сказали, что перпендикулярными могут быть две прямые, прямая и плоскость, две плоскости. – Какие типы задач нами были рассмотрены? –Как вы думаете какое значение имеет данная тема в курсе стереометрии?	–на доказательство перпендикулярности объектов, задачи на нахождение расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, задачи на нахождение углов между прямой и плоскостью, между плоскостями. –позволяет ввести метрические характеристики пространства, то есть определение углов и расстояний между основными фигурами.

– Что вы теперь умеете делать? – Необходимо помнить, что каждое построение нужно обосновать прежде, чем проводить вычисления.	– Мы умеем доказывать перпендикулярность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей; решать основные задачи на вычисление расстояний и углов, как то находить расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости, находить углы между прямой и плоскостью, между плоскостями.
Дома оформить решение последней задачи и подготовиться к контрольной работе.