Реферат: История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по порождаемому временному ряду

Реферат: История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по порождаемому временному ряду

РЕФЕРАТ

для сдачи кандидатского экзамена по истории и философии науки

(История математики)

Тема: «История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по порождаемому временному ряду»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………….......3

§ 1. Возникновение и развитие теории динамических систем………………...5

§ 2. Развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем…………………………………………………………………………….15

Заключение……………………………………………………………………….23

Список литературы………………………………………………………………24

Введение

          В развитии различных областей человеческой деятельности математика оказывала и оказывает существенное влияние. Современное развитие науки характеризуется потребностью изучения всевозможных сложных процессов и явлений. Происходит значительное увеличение темпов математизации и расширение ее области действия. Теории математики широко применяются в других науках, казалось бы совершенно от нее далеких – лингвистике, юриспруденции. Это вызвано естественным процессом развития научного знания, который потребовал привлечения нового и более совершенного математического аппарата, проявлением новых разделов математики, а также кибернетики, вычислительной техники и так далее, что значительно увеличило возможности ее применения.

Математическое моделирование по временным рядам – бурно развивающееся направление математической статистики и нелинейной динамики. Оно возникло с аппроксимации множества экспериментальных точек на плоскости гладкой линией. В настоящее время эмпирические модели имеют вид сложных дифференциальных и разностных уравнений и способны описывать даже нелинейные колебательно-волновые феномены.

Использование современных компьютеров с их большими объемами памяти и скоростями обработки данных и современными математическими пакетами в значительной степени облегчает получение модельных систем нелинейных уравнений, обработку сложных зашумленных сигналов, типичных для реальных объектов и ситуаций. Практические приложения эмпирических моделей весьма разнообразны – от прогнозов будущего до технической и медицинской диагностики, но процедуры их получения формализовать чрезвычайно сложно[4].

В реферате предпринята попытка рассмотреть исторические и философские аспекты возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем. В первом параграфе рассмотрено возникновение теории динамических систем, понятий динамическая систем, вычислительный эксперимент, математическая модель и хаос. Во втором параграфе рассматривается развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем, применения компьютеров для проведения вычислительных экспериментов.

§ 1. Возникновение и развитие теории динамических систем

Первая линия развития, которая вела к появлению теории динамических систем, связана с небесной механикой. Основоположниками классической механики принято считать Исаака Ньютона, Жозефа Луи Лагранжа, Пьера Симона Лапласа, Уильяма Гамильтона. Результатом их деятельности стало формирование представления о том, что сейчас называют гамильтоновой или консервативной динамической системой. Проблема трёх тел в небесной динамике, – первая задача, анализируя которую исследователи столкнулись с возникновением сложной динамики и хаоса. Впервые об этом написал Анри Пуанкаре. Результатом изучения системы трёх тел стало развитие теории возмущений.

С развитием компьютеров возможности изучения и наглядного представления сложной динамики расширились. Одним из первых примеров компьютерного исследования сложной динамики стала работа французских астрофизиков, рассмотревших модель движения звезды через галактический диск.

Значительный прогресс в понимании соотношения между квазипериодической динамикой и хаосом связан с теорией, разработанной в 50-60-х годах А.Н. Колмогоровым и В.И. Арнольд, а также американцем Ю. Мозером. В качественном отношении большое значение получили работы Б.В. Чирикова и Г.М. Заславского.

Вторая линия развития связана со статической физикой и формированием эргодической теории. Как известно, состоятельное описание в статической физике достигается только в рамках квантовой теории. Однако, много важного было сделано в предположении, что на фундаментальном уровне законы движения микрочастиц, из которых построены физические системы, подчиняются классической гамильтоновой механике. Основоположники статистической физики Д.У. Гиббс и Л. Больцман рассматривали фазовое пространство гамильтоновых систем, образованных совокупностью большого числа микрочастиц. В силу закона сохранения энергии, предоставленная сама себе система должна оставаться всё время на некоторой гиперповерхности в этом пространстве, задаваемой условием постоянства энергии. Больцман ввёл эргодическую гипотезу – предположение о том, что имеется по существу только одна фазовая траектория, проходящая через все точки эргодической поверхности. В 1913 году было доказано, что такое невозможно. Исправленная версия (П. Эренфест) состоит в том, что фазовая траектория с течением времени должна проходить сколь угодно близко от любой точки эргодической поверхности. Результатом  стало формирование отдельной математической дисциплины эргодической теории или метрической теории динамических систем.

Появление компьютеров позволило в начале 50-х годов Ферми, Паста и Уламу предпринять попытку пронаблюдать в вычислительном эксперименте процесс установления термодинамического равновесия в цепочке связанных нелинейных осцилляторов. Результат оказался совершенно неожиданным: вместо релаксации к равновесию наблюдался квазипериодический процесс. Эта работа показала, что проблема значительно сложнее, чем виделась раньше и дала тем самым толчок исследованиям, приведшим впоследствии к представлению о распределённых системах, а также к понятию солитона. Как выяснилось, свойство эргодичности само по себе не является ни необходимым, ни достаточным для желаемого обоснования статистической физики. По настоящему существенным является неустойчивость фазовых траекторий системы по отношению к малым возмущениям начальных условий и связанное с этим более сильное, чем эргодичность, свойство перемешивания. Одним из первых эту идею разработал Н. С. Крылов (1917-1947).

Количественная характеристика неустойчивости траекторий известна как ляпуновский характеристический показатель – величина, введённая русским математиком А.М. Ляпуновым (1857-1918). В 1968 г. советский математик В.И. Оселедец опубликовал важнейший результат – так называемую мультипликативную эргодическую теорему, которая позволяет говорить о ляпуновских показателях, определённых не для одной фазовой траектории, а для множества траекторий.

Были введены и другие характеристики, позволяющие различать простую и сложную динамику, динамическая энтропия, известная как энтропия Колмогорова–Синая (1959) и топологическая энтропия (1965).

(1917{1947)

Третья линия развития связана с радиотехникой, электроникой, теорией автоматического регулирования. Основоположником этого направления развития теории динамических систем был Б. Ван-дер-Поль. С этим именем связан генератор и осциллятор Ван-дер-Поля – классическая модель нелинейной системы, демонстрирующей периодические автоколебания. Около 1927 г. Ван-дер-Поль и Ван-дер-Марк исследовали динамику такого генератора под периодическим внешним воздействием. Режим работы устройства контролировался по звуку работы в наушниках. Исследова­тели отметили явление синхронизации при определенных раци­ональных соотношениях частоты воздействия и собственной ча­стоты и шумоподобные колебания при переходах между областями захвата. Возможно, это первое документально зарегистрированное экспериментальное наблюдение хаоса.

Работа Ван-дер-Поля и Ван-дер-Марка повлияла на работу Картрайт и Литтлвуда (1945). В этой работе, посвященной математическому исследованию уравнения автоге­нератора под периодическим внешним воздействием, была обна­ружена необычайная сложность динамики, в частности, наличие у системы (при достаточно большой амплитуде внешней силы) бесконечного числа неустойчивых периодических орбит. Эта ра­бота впоследствии оказала влияние на математиков, создававших основы математической теории сложной динамики и хаоса.

В России в 20-е годы в Московском университете сформиро­валась сильная научная школа Л.И.Мандельштама (1879-1944). Интересы этой школы охватывали, в частности, радиофизику, оп­тику, колебательные процессы в системах различной природы. Мандельштам первым пришел к пониманию возможности такой дисциплины, как теория нелинейных колебаний, — до этого по­лагали, что нелинейные явления должны изучаться для каждой конкретной системы отдельно. В конце 20-х годов ученик Ман­дельштама А.А. Андронов (1901-1952) установил, что адекватным математическим образом периодических автоколебаний являются предельные циклы, введенные Пуанкаре в его качественной тео­рии дифференциальных уравнений. Мандельштам сразу понял важность этого достижения и настоял на немедленной публикации результата. Андронов привлек также для анализа автоколебатель­ных систем созданный А.М.Ляпуновым аппарат теории устой­чивости. Одно из важных достижений — исследование момента возникновения автоколебаний при изменении параметров, ситу­ации, которую теперь называют бифуркацией Андронова-Хопфа. С 1931 г. Андронов работает в Нижнем Новгороде (Горьком), где вокруг него формируется крупная научная школа в области теории колебаний. В 1937 г. выходит классическая книга А. А. Андронова, А.А.Витта и С.Э.Хайкина «Теория колебаний». Один из соавто­ров книги – Витт оказался жертвой репрессий и погиб в лагерях, в издании книги 1937 г. его имя было исключено и восстановлено только в последующих изданиях.

Одним из важных достижений развивающейся теории нели­нейных колебаний стало формирование Андроновым и Понтрягиным представления о грубых или структурно-устойчивых систе­мах. Представим себе пространство, точки которого изображают динамические системы. Система грубая, если около соответству­ющей ей точки пространства систем можно указать такую окрест­ность, что в ней будут располагаться только системы с топологи­чески эквивалентным устройством фазового пространства. В про­странстве параметров грубые системы занимают целые области. Эти области разграничены поверхностями, где располагаются не­грубые системы коразмерности один. На этих поверхностях могут располагаться линии коразмерности два и т. д.

Исследовательская программа нелинейной теории колебаний по Андронову и Понтрягину и состоит в выделении и изучении грубых ситуаций, а затем негрубых в порядке возрастающей ко­размерности. Что касается негрубых ситуаций, то они составляют предмет теории бифуркаций — глу