Дипломная работа: Редуцированные полукольца

Дипломная работа: Редуцированные полукольца

Министерство Образования Российской Федерации

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

 «Редуцированные полукольца»

                                 Работу выполнил студент

   математического факультета

\Подпись\ ____________

                                           Научный руководитель:

К.физ.-мат. наук

                           .                                                                  

\Подпись\ ____________

Рецензент:

Д. физ.-мат. наук, профессор

.

\Подпись\ ____________

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________.

                                                                            «___»________________

Декан факультета _______________.

                                                                            «___»________________

Киров, 2003.

План.

1.   Введение.

2.   Основные понятия, леммы и предложения.

3.   Доказательство основной теоремы.

  1.Введение

Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и × называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1.   (S, +) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

2.   (S, ×) - полугруппа с нейтральным элементом 1;

3.   умножение дистрибутивно относительно сложения:

                   a(b + c) = ab + ac,  (a + b)c = ac + bc

для любых a, b, c Î S;

4.   0a = 0 = a0 для любого aÎ S.

Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.

         В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.

Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным, если для любых a, bÎS выполняется a = b, как только a+ b= ab + ba.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:

1.   S слабо риккартово;

2.   " a, bÎS  (D(a)ÇD(b)=ÆÞ =Æ);

3.   все идеалы Op, PÎSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);

4.   все идеалы OM, MÎ Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P Í M Þ Op=OM для " PÎ Spec S  и MÎ Max S;

5.   каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;

6.   " a, bÎ S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);

Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ([1]).

         2.Основные понятия, леммы и предложения

Для доказательства нашей теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.

         Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим, если для любых элементов a, b, b¢, c Î S выполняется

                   abc = ab¢c Û acb = acb¢.

            Определение 4. Элемент aÎS называется нильпотентным, если в последовательности a, a, a,…, a, … встретится нуль.

Предложение 1. Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов.

         Доказательство: Пусть ab = ab¢. Тогда

                          baba = bab¢a  и   b¢aba = b¢ab¢a,

откуда             

                           baba + b¢ab¢a = bab¢a + b¢aba

или иначе   

                                (ba)+ (b¢a)= bab¢a + b¢aba.

В силу редуцированности  ba = b¢a, т.е.

                                     ab = ab¢ Þ ba = b¢a.                                       (1)

         Аналогично доказывается  ba = b¢a Þ ab = ab¢.

         Пусть ab = ab¢. Тогда с помощью (1) ba = b¢a, откуда bac = b¢ac   и         acb = acb¢. Значит, имеем:

                  ab = ab¢ Þ acb = acb¢, ba = b¢a Þ bca = b¢ca.                (2)

         Пусть сейчас abc = abc¢. Тогда

         abc = ab¢c Þ acbc = acb¢c Þ acbac = acb¢ac Þ acbacb = acb¢acb  и          

acbacb¢ = acb¢acb¢ Þ (acb)+ (acb¢)= acb¢acb + acbacb¢ Þ acb = acb¢.

Таким же образом доказывается другая импликация.

         Пусть a+ b= ab + ba влечёт a = b. При b = 0 получаем a= 0 Þ a = 0. Если с= 0 для некоторого натурального n > 2, то c= 0 для k Î N с условием n £ 2. Получаем, что c= 0, и так далее. На некотором шаге получим c= 0, откуда с = 0. Предложение доказано.

         Пример. Рассмотрим полукольцо S = {0, a, b, 1}, операции в котором заданы следующим образом:

         Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa = ab, но aa ¹ ba. Во-вторых, S – полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.                              

         Определение 5. Собственный двусторонний идеал P полукольца S называется первичным, если AB Í P влечёт A Í P  или  B Í P для любых идеалов A и B. Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.

         Определение 6. Правый идеал P полукольца S