Контрольная работа: Модификация модели М. Калецкого

Содержание

Введение……………………………………………………….............…………..2

1. Модификация модели М. Калецкого, описывающей динамику капитала....5

2. Пример 1………………………………………………………………….........10

3. Пример 2………………………………………………………………….........12

Выводы……………………………………………………………………...........15

Перечень ссылок………………………………………………………................16

Введение

В работе приведена модель динамики капитала, предложенная выдающимся польским ученым Михаилом Калецким. Эта модель модифицирована с учетом распределенных опозданий во время реализации инвестиций. Получено интегро-дифференциальное уравнение для описания динамики капитала, выполнен экономико - математичний анализ выявленных циклических изменений в нагромождении капитала и инвестиций.

Мировой финансово-экономический кризис вызвал необходимость в разработке новых экономических концепций и развитии уже признанных трактовок особенностей современного капитализма. Отечественная наука призвана активно включиться в эту работу также ввиду низкой эффективности рыночных преобразований, реализованных на основе монетаризма, в абсолютной уверенности, что англосакский путь экономической эволюции есть неоспоримый эталон. Как известно, выполняя рекомендации западных институтов, наши реформаторы существенно ослабили роль государства в экономике. Предполагалось, что стремительно появившийся вследствие всеобъемлющей приватизации класс предпринимателей немедленно возьмет на себя заботу о народном благе и осуществит долгожданное "национальное экономическое чудо". Как известно, ожидания не оправдались. Вполне очевидны различия в практических установках "новых украинцев" и западных предпринимателей: ведь мировоззрение последних сформировалось на базе прочных либеральных демократических традиций и глубокого понимания социальной ответственности бизнеса перед обществом. Сегодня как никогда остро Украина нуждается в эффективной государственной политике, ориентированной на устойчивый экономический рост, который обеспечит достижение европейских стандартов качества жизни граждан. В этом убеждают как рецессионные явления в хозяйстве, так и возможные новые угрозы во многих сферах хозяйствования. Такая политика должна опираться на точный прогноз направлений поступательного развития, исходящий из научных исследований динамики капитала.

Тезис о неразрывной связи политики и экономики не нуждается в доказательствах. Для принятия обоснованных долгосрочных политических решений по управлению государством следует использовать уже апробированные инвестиционные теории. В этой связи, по нашему мнению, заслуживают самого пристального внимания теоретические идеи и экономико-математические модели выдающегося польского ученого Михаила Калецкого (1899—1970). Если принять во внимание, что Дж Кейнс и М. Калецкий, оттолкнувшись от диаметрально противоположных точек зрения, в анализе реальных экономических процессов пришли к весьма близким выводам, то есть основания говорить о приложимости этих концепций, соответствующим образом модифицированных, к отечественным условиям. Попутно заметим, что, по мнению Дж Робинсон, М. Калецкий даже лучше, чем Дж Кейнс, изучил такие аспекты, как несовершенная конкуренция и эффективный спрос.

Идеи М. Калецкого можно с успехом использовать для разработки стратегии развития государства, направленной на достижение максимальной занятости трудоспособного населения путем выбора самого рационального варианта инвестиционных программ и планов, нацеленных на сбалансированный рост валового продукта и благосостояния.

Многие специалисты вполне заслуженно считают М. Калецкого одним из главных создателей теории, которая получила имя Дж Кейнса. В традициях классиков политэкономии польский ученый развил марксистские начала в экономических реалиях середины XX ст. и фактически предвосхитил главные идеи кейнсианства. В академических кругах Запада, особенно в Англии, его наследие получило широкое признание. В Советском Союзе труды М. Калецкого были известны меньше (правда, в год смерти ученого вышла его книга о теории роста социалистической экономики). В современных российских и украинских учебниках по экономической теории его имя упоминается крайне редко. Исключением являются уже названное учебное пособие и две статьи, где содержится полное жизнеописание М. Калецкого и дана надлежащая оценка его научным достижениям, а между тем библиография ученого насчитывает свыше 550 публикаций.

Цель настоящей работы - раскрыть определяющую роль инвестиций в накоплении капитала. Для этого подробно рассмотрен первоначальный вариант разработанной М. Калецким динамической модели, представленный в книге Р. Аллена.

1. Модификация модели М. Калецкого, описывающей динамику капитала

Следуя Р. Аллену и сохраняя его терминологию, мы приняли допущение о том, что условием действия модели служит известное разложение величины объема выпуска продукции через "доход" Y на потребление С, накопление I и независимые расходы G.

Y=C + I + G, (1)

где С=cY(c — предельная склонность к потреблению) и G - заданные величины. Доход определяется взаимодействием капиталовложений и статистического мультипликатора без запаздываний, то есть планируемые затраты полностью совпадают во времени с реальными инвестициями:

(2)

Величина I(t) есть не что иное, как фактические чистые затраты на капиталовложения; как правило, она имеет денежное выражение.

Ключевой переменной с позиции капиталовложений является величина B(t), определяющая программу инвестирования в момент времени t. М. Калецкий высказывает предположение, что в соответствии с решениями об инвестировании (по существу, с формированием портфеля заказов на капитальное оборудование) через планируемый интервал времени Q реализуются поставки и производятся финансовые расчеты в течение периода производства и ввода в эксплуатацию необходимого оборудования.

Обозначим через K(t) величину основного капитала в момент времени t и допустим, что скорость поставок нового оборудования является производной по времени величины капитала, то есть составит dK/dt. Тезис о том, что капиталовложения запаздывают, приводит к следующим уравнениям связи:

I(t) = (3)

(4)

Уравнения (3) и (4) отражают важную идею М. Калецкого о существенных различиях между плановыми инвестиционными проектами B(t) и фактически реализованными инвестициями I(t). Заметим, что в уравнениях (3) и (4) присутствует величина единственного фиксированного значения временного запаздывания Q, и это, на наш взгляд, весьма упрощает механизмы планирования и реализации инвестиционных программ.

Мы предлагаем, в отличие от М. Калецкого, рассмотреть взаимосвязи между капиталом K, решениями об инвестициях В и фактическими капиталовложениями I с использованием распределенных запаздываний. Формулы (3) и (4) получат следующий вид:

I(t) = (5)

K(t) = K0+ (6)

где К0- значение величины капитала в момент времени t=0; φ(t, τ) - ядро интегрального преобразования (5), имеющее смысл "экономической памяти" о всех прошлых значениях планируемых инвестиций на интервале времени τ [1, t]; ψ(t,τ) - ядро интегрального преобразования (6), интерпретируемое как реакция капитала на мгновенный скачок реальных инвестиций.

Часто в экономической теории, пренебрегая амортизацией капитала, полагают ψ(t, τ)=1. В таком случае уравнение (6) равносильно с начальным условием K(t = 0) = К0 дифференциальному уравнению

(7)

Далее рассматриваются предпосылки, на основании которых формируется структура плановых инвестиций B(t). Здесь мы солидарны с М. Калецким и Р. Алленом и утверждаем, что

B=aS-βK+ε, (8)

где S=(1—c)Y— сбережения, влияющие на В в прямом направлении; α, β— положительные константы; ε— слагаемое, отражающее автономную тенденцию планирования инвестиций.

Не нарушая единства, положим ε=const. Кроме того, отметим, что положительность коэффициента β характеризует в формуле (8) отрицательную корреляцию между величинами В и К. При этом β имеет размерность, обратную единице времени, а является безразмерной величиной.

Используя формулу (2), исключим из (8) зависимость от уровня дохода Y:

В=а1-βк+ε. (9)

Таким образом, уравнения (5), (7), (9) определяют функциональную взаимосвязь между переменными K(t), B(t), I(t). В данном случае наиболее просто вывести интегро-дифференциальное уравнение для динамики капитала:

(10)

Интегро-дифференциальное уравнение (10) вместе с начальным условием К(t=0)=К0 целиком описывает эволюцию капитала в данной экономической системе. Сложность исследования поведенческих свойств уравнения (10) во многом определяется явным видом ядра — функции φ (t, τ).

Рассмотрим случай, когда оно является вырожденным, то есть

φ (t, τ) = ξ(t)η(τ).

При такой структуре функции φ (t, τ) базовое интегро-дифференциальное уравнение (10) путем дифференцирования по времени с помощью несложных преобразований получает вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Для простоты примем, что G — постоянное число, тогда величина А= также является постоянной.

Целесообразно ввести в рассмотрение переменную x(t) = K(t) — А, имеющую смысл отклонения величины капитала от некоего характерного постоянного значения А. В такой ситуации уравнение (10) примет следующую форму:

=dτ (11)

Отдифференцировав (11) по независимой переменной t и выполнив необходимые тождественные преобразования, получим искомое обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка по переменной X(t):

(12)

где

ρ(t) =

q(t)=βξ(t)η(t)

с ненулевыми начальными условиями;

X(0)=K0 – A, (13)

Дифференциальное уравнение (12) занимает особое место в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, и совершенно невозможно дать исчерпывающий обзор свойств решения этого уравнения.

По поводу дифференциального уравнения (12) известный американский математик Р. Беллман утверждал, что значение уравнений указанного вида в физике трудно переоценить. Существует много исследований, связанных с данным уравнением. С математической точки зрения оно представляет собой постоянный вызов искусству аналитика: надо получать всевозможные свойства решений этого уравнения, не пользуясь такой роскошью, как явное представление последних через коэффициенты р и q.

Из-за многообразия возможных случаев и вытекающей отсюда трудности объединения их в общей теории мы ограничимся рассмотрением некоторых частных примеров, которые, кроме того что представляют экономико-математический интерес, иллюстрируют применение разработанных основных методов к исследованию задач экономической динамики.

2. Пример 1

При реализации планируемых инвестиционных проектов (формула (5)) с учетом распределенных запаздываний (взаимосвязь капитала, решений об инвестициях и фактических капиталовложений) используется функция φ1(t,τ)=be(τ-t), где b>0 есть некоторая постоянная времени. С экономической точки зрения такой выбор ядра интегрального преобразования (5) означает, что весовой коэффициент решения об инвестировании в момент времени τ(0<τ<t) возрастает с приближением к моменту времени t (когда инвестиции реализуются) и убывает, когда величина τ находится ближе к нулю.

Данный подход отражает реальное поведение инвесторов, когда принимаются решения об инвестировании.

Поскольку

φ1(t,τ)= ξ1(t)η1(τ),

то для определенности выберем

ξ1(t)= е-ы

η1(τ)= bеы.

Далее, после элементарных преобразований выражение (12) трансформируется к виду дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

(14)

Коэффициенты уравнения (14) есть строго положительные числа, так как 0 < α < 1, следовательно, решения X(t) будут устойчивыми.

Структура решений (14) имеет следующий вид:

X(t) = (15)

где

λ1,2=

R1, R2 — произвольные постоянные, зависящие от начальных условий.

Таким образом, все решения X(t) дифференциального уравнения (14) экспоненциально стремятся от заданного начального условия Х0 к равновесному значению Х=0 (К=А). При этом характер движения X(t) к равновесию при условии b = является монотонным, а при противоположном знаке неравенства - колебательным гармоническим с частотой

ω = .

Здесь уместно напомнить, что разностное ядро φ1(t,τ)=beb(τ-t) так называемая "память о принятых инвестиционных решениях", по сути, является динамическим регулятором инвестиционного процесса, и вполне правомерна постановка задачи о выборе оптимального значения параметра b в соответствии с требованиями к качеству переходного процесса накопления капитала.

Установленная зависимость реализованных инвестиционных (в динамике) решений играет существенную роль для моделирования последствий поведения инвестора, что не всегда учитывается в инвестиционном процессе на макроуровне.

Пример 2

Рассмотрим ситуацию, когда реализуются инвестиционные проекты с учетом равной значимости на временном интервале τ [0, t] всех инвестиционных решений, что наиболее часто моделируется в ходе принятия стратегических решений. В таком случае ядро примет вид

φ2(t,τ)= 1/t,

то есть

ξ2(t,r) = 1/t,η2(τ)=1.

После необходимых преобразований дифференциальное уравнение (12) примет форму обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с переменными параметрами

(16)

Поведенческие свойства дифференциального уравнения (16) принципиально отличаются от свойст