Учебное пособие: Матрицы и определители

Учебное пособие: Матрицы и определители

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. Матрицы

1. Понятие матрицы. Типы матриц

2. Алгебра матриц

Лекция 2. Определители

1. Определители квадратной матрицы и их свойства

2. Теоремы Лапласа и аннулирования

Лекция 3. Обратная матрица

1.       Понятие обратной матрицы. Единственность обратной матрицы

2. Алгоритм построения обратной матрицы. Свойства обратной матрицы

4. Задачи и упражнения

4.1.     Матрицы и действия над ними

4.2.   Определители

4.3.   Обратная матрица

5. Индивидуальные задания

Литература

ЛЕКЦИЯ 1. МАТРИЦЫ

План

1.   Понятие матрицы. Типы матриц.

2.   Алгебра матриц.

Ключевые понятия

Диагональная матрица.

Единичная матрица.

Нулевая матрица.

Симметричная матрица.

Согласованность матриц.

Транспонирование.

Треугольная матрица.

1. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ. ТИПЫ МАТРИЦ

Прямоугольную таблицу

А=,

состоящую из m строк и n столбцов, элементами которой являются действительные числа , где i – номер строки, j - номер столбца на пересечении которых стоит этот элемент, будем называть числовой матрицей порядка m´n и обозначать .

Рассмотрим основные типы матриц:

1. Пусть m = n, тогда матрица А – квадратная матрица, которая имеет порядок n:

А = .

Элементы  образуют главную диагональ, элементы  образуют побочную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю:

А =  = diag ().

Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны 1:

Е =  = diag (1, 1, 1,…,1).

Заметим, что единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел, а также подчеркнем, что единичная матрица определяется только для квадратных матриц.

Приведем примеры единичных матриц:

=, =.

Квадратные матрицы

А = , В =

называются верхней и нижней треугольными соответственно.

2. Пусть m = 1, тогда матрица А – матрица-строка, которая имеет вид:

3. Пусть n=1, тогда матрица А – матрица-столбец, которая имеет вид:

4.Нулевой матрицей называется матрица порядка m´n, все элементы которой равны 0:

0 =

Заметим, что нулевая матрица может быть квадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Нулевая матрица есть матричный аналог нуля во множестве действительных чисел.

5. Матрица называется транспонированной к матрице  и обозначается , если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы .

Пример. Пусть = , тогда  = .

Заметим, если матрица А имеет порядок m´n, то транспонированная матрица имеет порядок n´m.

6. Матрица А называется симметричной, если А=А, и кососимметричной, если А =  –А.

Пример. Исследовать на симметричность матрицы А и В.

 = , тогда = , следовательно, матрица А симметричная, так как А = А.

В = , тогда = , следовательно, матрица В кососимметричная, так как В = – В.

Заметим, что симметричная и кососимметричная матрицы всегда квадратные. На главной диагонали симметричной матрицы  могут стоять любые элементы, а симметрично относительно главной диагонали должны стоять одинаковые элементы, то есть =. На главной диагонали кососимметричной матрицы всегда стоят нули, а симметрично относительно главной диагонали  = – .

2. АЛГЕБРА МАТРИЦ

Рассмотрим действия над матрицами, но вначале введем несколько новых понятий.

Две матрицы А и В называются матрицами одного порядка, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.

Пример.  и  – матрицы одного порядка 2´3;

 и   матрицы разных порядков, так как  2´3≠3´2.

Понятия ″больше″ и ″меньше″ для матриц не определяют.

Матрицы А и В называются равными, если они одного порядка m´n, и  = , где  1, 2, 3, …, m, а j = 1, 2, 3, …, n.

Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы А на число λ приводит к умножению каждого элемента матрицы на число λ:

λА = , λR.

Из данного определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Пример.

Пусть матрица А =, тогда 5А==.

Пусть матрица В =  =  = 5.

Свойства умножения матрицы на число:

1) λА = Аλ;

2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), где λ,μ  R; 

3) (λА) = λА;

4) 0ּА = 0.

Сумма (разность) матриц.

Сумма (разность) определяется лишь для матриц одного порядка m´n.

Суммой (разностью) двух матриц А и В порядка m´n называется матрица С того же порядка, где  =  ±  ( 1, 2, 3, …, m , 

j = 1, 2, 3, …, n.).

Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме  (разности) соответствующих элементов матриц А и В.

Пример. Найти сумму и разность матриц А и В.

= , = ,

тогда =+==,

=–==.

Если же = , = , то А ± В не существует, так как матрицы разного порядка.

Из данных выше определений следуют свойства суммы матриц:

1)   коммутативность А+В=В+А;

2)   ассоциативность (А+В)+С=А+(В+С);

3)   дистрибутивность к умножению на число λR: λ(А+В) = λА+λ